Уравнение sin x = a

Тема урока: Уравнение sin x = a 📚

Цели урока 🎯

• Понять, при каких a уравнение sin x = a имеет корни 🧠

• Разобраться с арксинусом и двумя сериями корней 🔢

• Прорешать примеры и научиться проверять себя ✏️

Основная часть урока 📝

1. Когда у уравнения есть корни? 🤔

Синус — это ордината точки на единичной окружности, поэтому он принимает значения только от −1 до 1. Значит, уравнение sin x = a разрешимо лишь при −1 ≤ a ≤ 1.

• sin x = 0,8 — корни есть: 0,8 лежит в [−1; 1]

• sin x = 1,5 — корней нет: синус не бывает больше 1 ❌
  ✨ Важно: проверка |a| ≤ 1 — всегда первый шаг решения.

2. Что такое arcsin a? 🔍

Арксинус числа a (пишут arcsin a) — это угол из промежутка [−π/2; π/2], синус которого равен a.

• arcsin (1/2) = π/6, потому что sin (π/6) = 1/2 и π/6 лежит в [−π/2; π/2]

• arcsin 0 = 0, arcsin 1 = π/2, arcsin (−1) = −π/2

• Арксинус нечётен: arcsin (−a) = −arcsin a, поэтому arcsin (−1/2) = −π/6

3. Две серии корней и общая формула 🛠

Синусы углов x и π − x равны, поэтому корни идут двумя сериями:

• x = arcsin a + 2πn, n ∈ ℤ

• x = π − arcsin a + 2πn, n ∈ ℤ

Обе серии объединяют в одну короткую запись: x = (−1)ⁿ·arcsin a + πn, n ∈ ℤ. При чётных n получается первая серия, при нечётных — вторая.

4. Частные случаи 📌

• sin x = 0 → x = πn

• sin x = 1 → x = π/2 + 2πn

• sin x = −1 → x = −π/2 + 2πn
  ✨ Важно: в частных случаях серия одна — общая формула не нужна.

5. Прорешанные примеры ✏️

Пример 1. Реши уравнение sin x = 1/2.

1. 1/2 лежит в [−1; 1] — корни есть.

2. arcsin (1/2) = π/6.

3. Ответ: x = (−1)ⁿ·π/6 + πn, n ∈ ℤ.

4. Проверка: n = 0 даёт x = π/6, sin (π/6) = 1/2; n = 1 даёт x = π − π/6 = 5π/6, sin (5π/6) = 1/2 — верно ✅

Пример 2. Реши уравнение sin x = −√2/2.

1. −√2/2 ≈ −0,71 — попадает в [−1; 1].

2. arcsin (−√2/2) = −arcsin (√2/2) = −π/4.

3. Ответ: x = (−1)ⁿ·(−π/4) + πn, то есть x = (−1)ⁿ⁺¹·π/4 + πn, n ∈ ℤ.

4. Проверка: n = 0 → x = −π/4, sin (−π/4) = −√2/2; n = 1 → x = π + π/4 = 5π/4, sin (5π/4) = −√2/2 — верно ✅

Пример 3. Реши уравнение sin 3x = 1.

1. Частный случай: sin t = 1 при t = π/2 + 2πn.

2. Здесь t = 3x, значит 3x = π/2 + 2πn.

3. Делим на 3: x = π/6 + 2πn/3, n ∈ ℤ.

4. Проверка: при n = 0 x = π/6, sin (3·π/6) = sin (π/2) = 1 — верно ✅

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Пишут x = ±arcsin a + 2πn, как у косинуса → ✅ у синуса серии x = arcsin a + 2πn и x = π − arcsin a + 2πn

• ❌ Считают arcsin (−1/2) = π + π/6 → ✅ арксинус нечётен: arcsin (−1/2) = −π/6

• ❌ Теряют вторую серию корней → ✅ помни: sin (π − x) = sin x, у углов π/6 и 5π/6 синус одинаковый

• ❌ Решают sin x = 1,2 по формуле → ✅ при |a| > 1 корней нет

Мини-конспект 📋

• Корни есть только при −1 ≤ a ≤ 1

• arcsin a — угол из [−π/2; π/2] с синусом a

• arcsin (−a) = −arcsin a

• Серии: x = arcsin a + 2πn и x = π − arcsin a + 2πn

• Короткая запись: x = (−1)ⁿ·arcsin a + πn, n ∈ ℤ

• sin x = 0 → x = πn; sin x = ±1 → x = ±π/2 + 2πn

• Проверяй ответ подстановкой n = 0 и n = 1

Зачем это нужно? 🚀

• Звук — это синусоида: решая sin x = a, находят моменты, когда сигнал достигает нужного уровня 🎵

• Высота кабинки колеса обозрения меняется по синусу — уравнение отвечает, когда она окажется на заданной высоте 🎡

• Тригонометрическое уравнение — обязательное задание профильного ЕГЭ 🎯