Уравнения и неравенства с модулем
Тема урока: Уравнения и неравенства с модулем 📚
Цели урока 🎯
Вспомнить определение модуля и его геометрический смысл 📏
Освоить стандартные схемы решения уравнений с модулем 🛠
Научиться решать неравенства с модулем без перебора случаев ✍️
Основная часть урока 📝
1. Что такое модуль? 🤔
Модуль числа a — это само a, если a ≥ 0, и −a, если a < 0. Геометрически |x| — расстояние от точки x до нуля на числовой прямой, а |x − b| — расстояние от x до точки b.
✨ Важно: модуль никогда не бывает отрицательным. Это ключ ко многим задачам.
2. Уравнение вида |f(x)| = a 🛠
Три случая: если a < 0 — решений нет; если a = 0 — решаем f(x) = 0; если a > 0 — совокупность f(x) = a или f(x) = −a.
Пример 1. Решим |2x − 3| = 5.
Первый случай: 2x − 3 = 5 → 2x = 8 → x = 4.
Второй случай: 2x − 3 = −5 → 2x = −2 → x = −1.
✅ Проверка: |2·4 − 3| = |5| = 5; |2·(−1) − 3| = |−5| = 5. Ответ: x = 4 и x = −1.
3. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)| 🔍
Модули равны, когда выражения равны или противоположны: f = g или f = −g.
Пример 2. Решим |x − 2| = |2x + 1|.
x − 2 = 2x + 1 → −x = 3 → x = −3.
x − 2 = −(2x + 1) → x − 2 = −2x − 1 → 3x = 1 → x = 1/3.
✅ Проверка: при x = −3: |−5| = 5 и |−5| = 5; при x = 1/3: |1/3 − 2| = 5/3 и |2/3 + 1| = 5/3. Ответ: x = −3 и x = 1/3.
4. Неравенство |f(x)| < a — «между» 📉
При a > 0 неравенство |f| < a равносильно двойному: −a < f < a. Точка находится ближе, чем на a, к нулю.
Пример 3. Решим |x + 2| < 3.
Переходим к двойному неравенству: −3 < x + 2 < 3.
Вычитаем 2 из всех частей: −5 < x < 1.
✅ Проверка: x = 0: |2| = 2 < 3 — подходит; x = 2: |4| = 4 — не подходит, и 2 не входит в ответ.
5. Неравенство |f(x)| > a — «врозь» 📈
При a > 0 неравенство |f| > a равносильно совокупности: f > a или f < −a. Два луча вместо отрезка.
Пример 4. Решим |x − 1| ≥ 4.
x − 1 ≥ 4 → x ≥ 5.
x − 1 ≤ −4 → x ≤ −3.
✅ Проверка: x = 6: |5| = 5 ≥ 4 — верно; x = 0: |−1| = 1 < 4 — и точка 0 в ответ не входит. Ответ: x ≤ −3 или x ≥ 5.
Типичные ошибки ⚠️
❌ Из |x| = −5 делают вывод x = −5 → ✅ модуль неотрицателен, у такого уравнения решений нет.
❌ В уравнении |f| = a рассматривают только f = a → ✅ всегда два случая: f = a и f = −a.
❌ Для |x| > a пишут двойное неравенство −a < x < a → ✅ «между» работает только для знака «меньше»; для «больше» — совокупность двух лучей.
❌ Раскрывая модуль с минусом, меняют знак не у всех слагаемых → ✅ −(2x + 1) = −2x − 1: минус раздаётся каждому слагаемому.
Нужен прочный фундамент по предмету? 🎓
Модуль всплывает везде — от простых уравнений до задач с параметром на ЕГЭ. В онлайн-школе «Моя школа LS» (1–11 классы) учитель на живых уроках в малой группе выстроит эту базу так, чтобы модуль перестал быть «страшной скобкой».
Мини-конспект 📋
|a| ≥ 0 всегда; |x − b| — расстояние от x до b.
|f| = a при a > 0 → f = a или f = −a; при a < 0 решений нет.
|f| = |g| → f = g или f = −g.
|f| < a → −a < f < a («между»).
|f| > a → f > a или f < −a («врозь»).
Ответ проверяй подстановкой чисел из найденных промежутков и вне их.
Зачем это нужно? 🚀
Допуски в технике записывают через модуль: |размер − норма| ≤ допуск ⚙️
Погрешность измерений в физике — это модуль отклонения от истинного значения 🌡️
На ЕГЭ модуль встречается в неравенствах и задачах с параметром — без этой темы туда не зайти 🎯
Модуль числа a равен самому a, если a ≥ 0, и равен −a, если a < 0. Геометрически это расстояние от точки a до нуля на числовой прямой, поэтому модуль всегда неотрицателен.
- Первый случай: 3x + 1 = 7 → 3x = 6 → x = 2.
- Второй случай: 3x + 1 = −7 → 3x = −8 → x = −8/3.
- Проверка: |3·2 + 1| = 7; |3·(−8/3) + 1| = |−7| = 7. Ответ: x = 2 и x = −8/3.
«Меньше» — «между»: |f| < a даёт полосу −a < f < a. «Больше» — «врозь»: |f| > a даёт два луча f > a или f < −a. Проверь себя подстановкой одного числа из каждого промежутка.
Оцените урок:
