Алгоритм

При поиске клада следует иметь подробные указания, как это делать. Например «встань под высоким дубом лицом на север. Иди прямо 52 метра, поверни направо и иди еще 35 метров. Копай вниз на 80 см.» Если такая подсказка есть и она правдива, то клад можно найти. А если ее нет, а мы знаем только примерное место, то искать можно очень долго.

Мы купили новый телевизор, нам нужно его подготовить к работе, включить, настроить каналы. Мы можем делать это сами, нажимая на все кнопки, но в коробке есть инструкция: «…подключите электрический кабель к телевизору, потом к розетке, подключите в разъем сзади антенну. Нажмите кнопку «вкл.» на телевизоре, дождитесь синего экрана, нажмите на пульте кнопку «меню», клавишей «вниз» выберите «автоматическая настройка каналов»…» Имея такую инструкцию, подробную подсказку, мы настроим наш телевизор намного быстрее и не испортим его.

Перед нами стояли разные задачи – найти клад, настроить телевизор. И мы решали их с помощью инструкции, подробного объяснения, как это делать. Они не обязательны, но часто бывают полезны. Такая инструкция, подсказка называется алгоритмом.

Если мы знаем алгоритм для решения задачи, то все просто. Алгоритм задает последовательность действий для решения задачи.

 Пример 1

Автомобиль едет быстрее велосипедиста.

Петя очень быстро ест, нужно есть медленнее.

Лена читает медленнее Вани.

Во всех этих примерах сравнивается скорость. Машина и велосипедист едут. Скорость движения машины больше скорости велосипедиста. Петя быстро ест. Его скорость приема пищи очень большая. Лена и Ваня читают. Скорость чтения Лены меньше скорости чтения Вани.

Всегда, когда можно сказать о чем-то «быстро», «медленно», «быстрее», «медленнее», значит, тут есть скорость.

 Пример 2

Пешеход прошел за 1 час 6 км. Какова его скорость?

, , 

Скорость пешехода – 6 км в час.

Пример 3

Пешеход прошел за 2 часа 12 км. Какова его скорость?

, , 

Скорость не изменилась. За 1 час он проходил 6 км, за 2 часа – 12 км. То есть скорость та же самая – 6 км/ч.

Пример 4

Велосипедист проехал за 3 часа 45 км. Какова его скорость?

, , 

За 3 часа он проехал 45 км, значит, за 1 час в три раза меньше, 45 делим на 3, ответ – 15 км/ч.

Пример 5

Оля за 3 часа съела 6 пирожков. Петя за 3 часа съел 9 пирожков. Ваня за 2 часа съел 8 пирожков. Каковы их скорости, кто ест быстрее всех, кто медленнее всех?

Оля: 

Петя: 

Ваня: 

Ответ: самая низкая скорость у Оли, а самая большая – у Вани.

Пример 6

Маша прочитала 560 слов за 8 минут, а Петя – 360 слов за 3 минуты. У кого скорость чтения больше?

Маша: 

Петя: 

Ответ: скорость чтения Маши ниже, чем скорость чтения Пети.

Во всех примерах скорость мы искали одинаковым способом. У нас был единый алгоритм, инструкция.

Алгоритм вычисления скорости

Чтобы найти скорость, нужно взять то, что изменялось, – пройденное расстояние, количество съеденных пирожков, количество прочитанных слов, количество деталей, объем воды и так далее – и поделить на время, за которое это произошло.

 – расстояние,  – время:

 – количество,  – время:

 – объем,  – время:

В итоге мы получим скорость движения, скорость поедания пирожков, скорость чтения, скорость работы, скорость наполнения бассейна водой и тому подобное.

Не всегда нам нужно искать скорость, она уже может быть известна, а необходимо найти расстояние, количество прочитанных слов. Может оказаться, что нужно найти время, которое понадобилось для всего этого.

Пример 7

Пешеход движется со скоростью 4 км/ч. Какое расстояние он пройдет за 3 часа?

Пример 8

Завод выпускает 15 автомобилей в день, сколько дней ему понадобится, чтобы выпустить 90 автомобилей?

Формулы для нахождения расстояние и времени

То есть кроме формулы для вычисления скорости, мы имеем еще две, для нахождения расстояния (количества, объема) и для нахождения времени (рис. 1).

Зная две величины, мы всегда можем найти третью. Формулы дают алгоритм этого. Нужно подставить в них известные величины и посчитать.

Рис. 1. Формулы нахождения скорости, времени и расстояния

А если задача окажется сложнее, чем просто по двум известным величинам найти третью, неизвестную? На это тоже есть алгоритм, инструкция для решения таких задач.

Алгоритм решения более сложных задач. Шаг 1

Сначала нужно все величины, которые есть в задаче, обозначить, чтобы мы могли потом с ними что-то делать.

Задача 1 шаг 1

Первый рабочий делает 12 деталей за 1 час, а второй – 15 за 1 час. Сколько сделают деталей оба рабочих вместе за 6 часов?

Двое рабочих работают вместе, но у каждого своя скорость, каждый производит свое количество. Введем обозначения для каждого.

 – количество деталей, которое произведет первый рабочий.

 – скорость, с которой работает первый рабочий.

количество деталей, которое произведет второй рабочий.

 – скорость, с которой работает второй рабочий.

 – количество деталей, которое произведут оба рабочих вместе.

 – время, за которое оба рабочих произведут нужное количество деталей.

Задача 2 шаг 1

Из пункта  в пункт  вышел пешеход со скорость 5 км/ч. Навстречу ему 1 час спустя из пункта  выехал велосипедист со скоростью на 10 км/ч больше, и еще через 2 часа он встретил пешехода. Каково расстояние между пунктами  и ?

Есть пункты  и . И расстояние между ними обозначаем .

Пешеход движется некоторое время со своей скоростью и проходит какое-то расстояние. Обозначим эти величины:

 – путь, который преодолел пешеход.

 – скорость пешехода.

 – время, за которое пешеход преодолел пройденное расстояние.

Велосипедист также двигался с определенной скоростью, определенное время и преодолел некоторое расстояние. Обозначим эти величины:

 – путь, который преодолел велосипедист.

 – скорость велосипедиста.

 – время, за которое велосипедист преодолел расстояние.

Перечислены все физические величины.

Шаг 2

Второй шаг – это, используя буквенные обозначения, записать все условия задачи.

Задача 1 шаг 2

Первый рабочий делает 12 деталей в час, а второй – 15 деталей в час. Сколько сделают деталей оба рабочих вместе за 6 часов?

Обозначения введены. Запишем все условия:

Первый рабочий делает 12 деталей в час. Это его скорость.

Второй – 15 деталей в час.

Сколько сделают деталей оба рабочих вместе? Работают вместе, общее количество деталей равно сумме того, что сделал каждый.

За 6 часов. Значит время работы равно 6.

Найти надо общее количество.

 Задача 2 шаг 2

Из пункта  в пункт  вышел пешеход со скорость 5 км/ч. Навстречу ему 1 час спустя из пункта  выехал велосипедист со скоростью на 10 км/ч больше, и еще через 2 часа он встретил пешехода. Каково расстояние между пунктами  и ?

«Навстречу ему, 1 час спустя…» То есть велосипедист выехал на час позже, а закончили они движение одновременно, когда встретились. Это значит, что время велосипедиста на 1 час меньше или время пешехода на 1 час больше, как удобнее.

 или 

«со скоростью на 10 км/ч больше…»

И через 2 часа он встретил пешехода. 2 часа – это время велосипедиста.

Нужно найти расстояние между пунктами  и .

Итак, для всех задач введены обозначения всех величин (шаг 1 алгоритма), переписаны все условия на математическом языке (шаг 2 алгоритма).

Шаг 3

Основная часть работы уже сделана. Следующий шаг уже подводит к ответу. А именно, нам нужно найти то условие, куда входит искомая величина, и подставить туда все остальные условия, все, что мы знаем.

Задача 1 шаг 3

Нам нужно найти .

Берем условие .

Нам нужно подставить туда значения  и , но у нас их нет. Но мы знаем формулу, по которой считаются эти количества. Чтобы найти количество, нужно скорость умножить на время.

Эти величины нам все известны. Подставляем их.

Ответ: 162 детали.

Задача 2 шаг 3

Ищем расстояние  между пунктами  и . Берем то условие, которое его и содержит.

Если бы мы знали, чему равны  и , то решили бы сразу, но так как мы не знаем, то используем формулу для вычисления расстояния: расстояние – это скорость, умноженная на время.

Нам известны  и , и неизвестны  и , но для них есть их выражения.

В правой части уравнения все известные величины, подставляем туда их значения:

Заключение

В задачах на скорость всегда есть три величины:

 — Расстояние (количество пирожков или деталей, объем воды)

 — Скорость

 — Время

Если известны две из них, то всегда можно найти третью. Для этого у нас есть три формулы:

Для решения задач на скорость используется алгоритм:

1. Обозначить все величины буквами.
2. Переписать все условия с помощью обозначений, этих букв.
3. Выбрать условие, которое содержит искомую величину.
4. Подставить туда все остальные условия.
5. Решить уравнение.

Список литературы

1. Зубарева И. И., Мордкович А. Г. Математика. 5 класс. – 14-е изд., испр. и доп. – М.: 2013. – 270 с.
2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Математика. 5 класс. – М.: 2014. – 304 с. 
3. Виленкин Н. Я., Жохов В. И. и др. Математика. 5 класс. – 24-е изд., испр. – М.: 2008. – 280 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «ppt4web.ru» (Источник)
2. Интернет-портал «nsportal.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «for6cl.uznateshe.ru» (Источник)

Домашнее задание

Решите задачи.

1. За 3 часа катер преодолел расстояние в 210 км. Какое расстояние он пройдет за 5 часов, если его скорость увеличится на 5 км/час?
2. От города до поселка – 37 километров, а от этого поселка до следующего – 83 км. Сколько времени понадобится, чтобы доехать от города до последнего поселка, если двигаться со скоростью 40 км/час?
3. Скворец летел со скоростью 75 км/час 2 часа. С какой скоростью летит ворона, если такое же расстояние она пролетит за 3 часа?