Тема урока: Задачи на степенные функции y=x^(-n) 📚✨

Цель урока 🎯

Познакомить учеников 7 класса с задачами на степенные функции вида y = x^(-n), где n — натуральное число (1, 2, 3, …). Мы научимся понимать, как работает эта функция, какие у неё особенности, и как решать связанные с ней задачи! 😊

Основные понятия 📝

Степенная функция с отрицательной степенью — это функция вида y = x^(-n), где n — натуральное число. Это означает, что степень всегда отрицательная (например, -1, -2, -3, …). Такая функция выглядит как y = 1/x^n, потому что x^(-n) = 1/x^n. Давайте разберёмся, как это работает! 🚀

Примеры функций:

• Если n = 1, то функция y = x^(-1), или y = 1/x.

• Если n = 2, то функция y = x^(-2), или y = 1/x².

• Если n = 3, то функция y = x^(-3), или y = 1/x³.

Эти функции интересны тем, что их значения зависят от знаменателя, который включает x в степени. 😎

Свойства функции y = x^(-n) 🧠

1. Область определения 📍
   Функция определена для всех x, кроме x = 0, потому что деление на ноль невозможно.
   Пример: Для y = 1/x², если x = 0, значение не определено, но для x = 2, y = 1/4.

2. Область значений 🌈
   Значения y всегда положительные (y > 0), если n — чётное число, или могут быть положительными и отрицательными, если n — нечётное. Функция никогда не равна нулю.

3. Чётность 🔄
   Если n чётное (например, n = 2), функция чётная, и её график симметричен относительно оси y.
   Если n нечётное (например, n = 1), функция нечётная, и её график симметричен относительно начала координат.
   Пример: Для y = 1/x², y(2) = y(-2) = 1/4 (чётная); для y = 1/x, y(-1) = -1, y(1) = 1 (нечётная).

4. Поведение графика 📈
   График функции состоит из двух ветвей, которые не касаются осей координат. При x, близких к нулю, y становится очень большим (или очень маленьким, если n нечётное). При больших x, y становится близким к нулю.

Как решать задачи? 🖌️

Задачи на степенные функции обычно связаны с вычислением значений, построением графика или анализом поведения функции. Вот основные шаги:

1. Найди значение функции для заданного x.
   Пример: Для y = 1/x², если x = 2, то y = 1/2² = 1/4.

2. Проверь область определения: убедись, что x ≠ 0.

3. Определи поведение: реши, возрастает или убывает функция, и как ведёт себя график.
   Пример: Для y = 1/x, при x > 0 функция убывает (чем больше x, тем меньше y).

Примеры задач 🌟

1. Вычисление: Найдите y, если y = x^(-2) и x = -3.
   Решение: y = 1/(-3)² = 1/9.

2. График: Какие точки лежат на графике y = 1/x?
   Решение: Подставим x = 1, y = 1/1 = 1 (точка (1;1)); x = -1, y = 1/(-1) = -1 (точка (-1;-1)).

3. Сравнение: Сравните y = 1/x² и y = 1/x⁴ при x = 2.
   Решение: Для y = 1/x², y = 1/2² = 1/4. Для y = 1/x⁴, y = 1/2⁴ = 1/16. Значит, 1/4 > 1/16.

Интересный факт 🎉

Функции вида y = 1/x^n часто встречаются в реальной жизни, например, в физике для описания силы притяжения или в экономике для анализа затрат. Их графики выглядят как гиперболы, что делает их очень красивыми! 😍