Концепция уравнений является важной частью математики. Уравнения представляют собой равенства, в которых присутствуют неизвестные величины, называемые переменными. Сегодня мы сосредоточимся на рассмотрении простых уравнений с одной переменной и исследуем методы их решения.

Начнем с примера.

Рассмотрите уравнение:

.

Попробуем подставить вместо неизвестной переменной значение 1. Получим: , что является неверным.

Точно так же, если подставить значение 2 , уравнение станет . Хотя бы из-за этого факта мы все еще находимся в поиске решения.

.

Однако если вместо неизвестной переменной ввести значение 3 , то уравнение примет вид , что является верным равенством: . Таким образом, можно утверждать, что значение является корнем данного уравнения.

Поиск всех возможных корней

Возникает вопрос, возможно ли, имеются иные значения, которые также являются решениями этого уравнения? Для ответов на этот вопрос необходимо обучиться решению уравнений определенными методами.

Решение уравнения подразумевает нахождение всех его корней или доказательство их отсутствия. Например, у уравнения не существует корней, поскольку левая часть всегда равна нулю.

Как же находить корни? Один из способов — бесконечное перебирание чисел по порядку, однако он не эффективен из-за неисчислимого множества значений. Цель заключается в преобразовании уравнения такими способами, чтобы корни стали очевидными.

Простой пример

Начнем с уравнений, где переменная находится в одной из частей наряду с числом. Возьмем уравнение: x = 5 .

Ответ: 5

х = 2 

Ответ: 2

Ясно, что ответ . В самом деле, если подставлять другие значения вместо , верного равенства добиться не удастся.

Понятие эквивалентных уравнений

Теперь рассмотрим уравнение: .

У нас есть информация о переменной х, которая при умножении 5 на и вычитании единицы дает результат . Точно эту же информацию можно выразить в иной форме — «эквивалентно». Если первоначальная операция дала результат 19 , то до нее должна была быть сумма 20 . Таким образом, можем записать: 

.

Хотя мы еще не нашли точное значение корня, такое уравнение считается эквивалентным исходному, потому что оно имеет те же самые корни. Уравнение:

.

является более простым представлением, где на одну переменную приходится значение . По определению деления, это означает, что .

Этот же самый результат в явном виде демонстрирует, что корень этого уравнения — . Все предыдущие уравнения были эквивалентными, следовательно, — корень самого первого уравнения 4.

Ответ: 4

Правила эквивалентных преобразований

Пример иллюстрирует, как добавление одинаковых значений к обеим частям уравнения, таких как . , не изменяет условия равенства. Всегда можно перенести слагаемое из одной части в другую, изменяя его знак.

Для примера, добавив число к обеим частям уравнения, получим:

Ответ: 56

В другом примере переменная входит в обе части. Чтобы упростить уравнение, добавим к обеим частям уравнения:

Ответ: 5

Итак, мы окончательно уяснили фундаментальный метод решения уравнений: преобразуйте их в более простые эквивалентные формы, чтобы выяснить значение переменной.

Применение в задачах

Рассмотрим практические примеры и их решения через применение упомянутых эквивалентных преобразований.

Если из уравнения формата мы хотим получить

Примеры: . Поделим обе части уравнения на 3: .

Ответ: 6.

Умножим обе части уравнения на 7: .

Ответ: 35.

Следующий пример: .

Разделим обе части уравнения на : .

Ответ: 9.

Решим еще несколько уравнений.

Пример 1.

Ответ: 2.

Пример 2.

Проверка: .

Ответ: 21.

Пример 3.

Ответ: 8.

Ответ: .

Помимо перечисленных методов, полезно помнить о правилах:

1. Добавление или вычитание одинакового выражения к обеим частям уравнения:

2.  

   

   

   Или:

   

   

3. Домножение или деление обеих частей уравнения на одинаковое ненулевое число:

4. 

   

   

   2)

   

   

   

Рекомендованная литература

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. «Математика 5 класс». Москва: Мнемозина, 2013.
• Ерина Т.М. «Рабочая тетрадь к учебнику Виленкина Н.Я. Математика 5 класс». Москва: Экзамен, 2013.
• Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. «Математика 5 класс». Москва: Вентана – Граф, 2013.

Понимание и практическое использование указанных методологий поможет более эффективно ориентироваться в математических задачах, которые включают уравнения.