На сегодняшнем занятии мы ознакомимся с одним из методов преобразования математических выражений — приведением подобных членов. Мы разберем примеры различной сложности, в том числе с целыми и дробными коэффициентами. Нашей задачей будет не только выявление подобных членов, но и освежение в памяти основ простейших математических операций.

Введение:

Определённое число или выражение допускает множество способов записи. Например, рассмотрим два эквивалентных способа записи одного и того же значения: 3+5 и 8.

Также, например, сумма трёх одинаковых слагаемых x+x+x может быть записана более кратким способом: 3x.

Вернемся к двум выражения 2x+3x и 5х . Они эквивалентны, однако, чтобы вычислить первое выражение, необходимо выполнить несколько действий (умножение и сложение).

Для вычисления второго выражения достаточно лишь одного действия – умножения: 5*3=15.

Таким образом, второе выражение можно считать более простым, чем первое.

Упрощение выражений:

Если мы записываем выражение в эквивалентной, но более упрощенной форме, это называется упрощением выражения. Выражение 2(3x) можно упростить до 6x. Однако для выражения 2a+3b такой эквивалентной упрощенной записи нет, так как переменные разные. Таким образом, одинаковые буквенные выражения можно упростить, объединяя коэффициенты.

Если у нас имеются одинаковые переменные, их можно объединить в более компактной форме посредством использования коэффициента, который равен количеству этих переменных.

Пример конкретного случая:

Возьмем выражения 5y и 3y. Первое выражение можно рассматривать как краткое представление суммы пяти одинаковых переменных, второе — трех. Итоговая сумма будет представлена как 8y.

Такой же способ работает и при использовании распределительного свойства: можно вынести общую буквенную часть за скобки, получив в скобках сумму коэффициентов: (5+3)y=8y.

Таким образом, сложение подобных членов сводится к простому сложению их коэффициентов, при этом буквенная часть остается неизменной.

Помимо сложения, также применимы аналогичные правила для вычитания: (7z−4z)=3z.

Если коэффициенты нецелые, принцип остается тем же, к примеру: 1.5x+2.5x=4x.

Подобные слагаемые:

Если у двух слагаемых одинаковая буквенная часть, их называют подобными. Чтобы сложить подобные слагаемые необходимо сложить их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.

Ниже представлены примеры иллюстрации слагаемых:

• Пример 1: 2a+3b+4a+5c. Первое и третье слагаемые подобны, второе и четвертое не являются подобными. В результате упростить можно до: 6a+3b+5c.
• Пример 2: 6xy+3z+2xy+5z. Первое и третье слагаемые одинаковы по буквенной части, как и второе с четвертым. После приведения подобных: 8xy+8z.
• Пример 3: 2x+x. Здесь перед x нет явно указанного коэффициента, подразумевается, что он равен единице. Поэтому 2x+x может быть записано как 3x.
• Пример 4: 4m+3n+2m. Анализируя, видим, что можем привести их к 6m+3n.

Подводя итог:

Два выражения называются подобными, если их буквенные части совпадают. Для их сложения или вычитания нужно производить эти операции с их коэффициентами.

Решение дополнительных примеров:

1. (5a+2b)−(3a+b).
   Приведем подобные: 2a+b.
2. (32p+52p)+(q−q).
   Приведем к общему знаменателю и подобные: 4p.
3. 2x+5xy+3x.
   Только первая пара обладает подобной структурой, итого: 5x+5xy.
4. (4k−2l)+(k+l).
   После раскрытия скобок и приведения подобных: 5k−l.

Дополнительная литература:

• «Математика 5 класс» авторы Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И., издание М: Мнемозина.
• «Математика 5 класс» автор Ерина Т. М., Учебное пособие к книге Виленкина Н. Я., издание М: Экзамен.
• «Математика 5 класс» авторы Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С., издание М: Вентана-Граф.