Тема урока: Решение рациональных неравенств повышенной сложности 📚

Цели урока 🎯

• Понять, что такое рациональные неравенства повышенной сложности 🧠

• Научиться решать их методом интервалов 🔢

• Освоить показ решений на числовой прямой 📈

Основная часть урока 📝

1. Что такое рациональные неравенства повышенной сложности? 🤔

Рациональные неравенства — это выражения, где переменная (например, x) находится в дробях или произведениях, сравниваемых с числом с помощью знаков: «больше» (>), «меньше» (<), «больше или равно» (≥) или «меньше или равно» (≤). «Повышенная сложность» означает, что в неравенстве может быть больше членов, например, произведение нескольких выражений или сложная дробь, но всё ещё с простыми числами и переменной x.
Примеры:

• (x — 1)(x + 2)/(x — 3) > 0

• (x + 1)(x — 4)/(x + 5) ≤ 0
  ✨ Важно: Решение — это все значения x, при которых неравенство верно, но знаменатель не должен быть равен нулю.

2. Метод интервалов для решения 🛠

Метод интервалов помогает найти, где выражение положительное или отрицательное, разделяя числовую прямую на части.
Шаги:

1. Найти точки, где числитель равен нулю (корни).

2. Найти точки, где знаменатель равен нулю (запрещенные значения).

3. Разделить числовую прямую на интервалы этими точками.

4. Проверить знак выражения в каждом интервале.

5. Выбрать интервалы, подходящие под знак неравенства.
   ⚠️ Запомни: Запрещенные значения (где знаменатель = 0) всегда исключаются из ответа.

3. Пример решения шаг за шагом 📊

Рассмотрим неравенство: (x — 2)(x + 1)/(x — 4) > 0

1. Найти корни и запрещенные значения:

   • Числитель: (x — 2)(x + 1) = 0 → x = 2, x = -1

   • Знаменатель: x — 4 = 0 → x = 4 (запрещено).

2. Разделить числовую прямую: Точки x = -1, x = 2, x = 4 делят прямую на четыре интервала:

   • x < -1

   • -1 < x < 2

   • 2 < x < 4

   • x > 4

3. Проверить знаки:

   • Для x = -2 (x < -1): (-2 — 2)(-2 + 1)/(-2 — 4) = (-4)(-1)/(-6) = 4/(-6) = отрицательное.

   • Для x = 0 (-1 < x < 2): (0 — 2)(0 + 1)/(0 — 4) = (-2)(1)/(-4) = 2/(-4) = отрицательное.

   • Для x = 3 (2 < x < 4): (3 — 2)(3 + 1)/(3 — 4) = (1)(4)/(-1) = 4/(-1) = отрицательное.

   • Для x = 5 (x > 4): (5 — 2)(5 + 1)/(5 — 4) = (3)(6)/(1) = 18/1 = положительное.

4. Выбрать интервалы: Нам нужно > 0 (положительное), то есть x > 4.
   Точка x = 4 исключена (запрещена), x = 2 и x = -1 не включаются (строгое «>»).
   Ответ: x > 4.

4. Показ решений на числовой прямой 📈

• Ставим точки: x = -1, x = 2 (пустые кружки, так как неравенство строгое), x = 4 (пустой кружок, запрещенное значение).

• Рисуем стрелку вправо от 4, где выражение положительное.
  ✨ Для нестрогих неравенств (≥, ≤) корни числителя включаются (закрашенные кружки), но запрещенные значения всегда исключаются.

5. Проверка решения ✅

Подставляем x = 5: (5 — 2)(5 + 1)/(5 — 4) = (3)(6)/(1) = 18, а 18 > 0 — верно! 😊
Для x = 0 (не в решении): (0 — 2)(0 + 1)/(0 — 4) = (-2)(1)/(-4) = 2/(-4) = -0.5, а -0.5 не больше 0 — правильно!

6. Зачем это нужно? 🚀

Рациональные неравенства повышенной сложности помогают решать задачи:

• Какие значения подходят, чтобы прибыль от продаж была положительной? 💸

• В каком диапазоне скоростей можно двигаться, чтобы уложиться в лимит времени? 🚴