Решение рациональных неравенств методом интервалов

Тема урока: Решение рациональных неравенств методом интервалов

Цели урока

• Понять, что такое рациональные неравенства

• Научиться решать их методом интервалов

• Освоить показ решений на числовой прямой

Основная часть урока

1. Что такое рациональное неравенство?

Рациональное неравенство — это выражение, где переменная (например, x) находится в дроби или произведении, и оно сравнивается с числом с помощью знаков: «больше» (>), «меньше» (<), «больше или равно» (≥) или «меньше или равно» (≤).
Примеры:

• (x — 2)/(x + 1) > 0

• (x + 3)(x — 1) ≤ 0
  Важно: Решение — это все значения x, при которых неравенство верно, но нужно следить, чтобы знаменатель дроби не был равен нулю.

2. Что такое метод интервалов?

Метод интервалов помогает найти, где выражение положительное или отрицательное. Он разбивает числовую прямую на части (интервалы) с помощью точек, где выражение равно нулю или не определено (например, знаменатель равен нулю).
Шаги:

1. Найти точки, где числитель равен нулю (корни).

2. Найти точки, где знаменатель равен нулю (запрещенные значения).

3. Разделить числовую прямую на интервалы этими точками.

4. Проверить знак выражения в каждом интервале.

5. Выбрать интервалы, подходящие под знак неравенства.

3. Пример решения шаг за шагом

Рассмотрим неравенство: (x — 2)/(x + 1) > 0

1. Найти корни и запрещенные значения:

   • Числитель: x — 2 = 0 → x = 2

   • Знаменатель: x + 1 = 0 → x = -1 (запрещенное значение, так как знаменатель не может быть нулем).

2. Разделить числовую прямую: Точки x = -1 и x = 2 делят прямую на три интервала:

   • x < -1

   • -1 < x < 2

   • x > 2

3. Проверить знаки:

   • Для x = -2 (x < -1): (-2 — 2)/(-2 + 1) = (-4)/(-1) = положительное.

   • Для x = 0 (-1 < x < 2): (0 — 2)/(0 + 1) = (-2)/(1) = отрицательное.

   • Для x = 3 (x > 2): (3 — 2)/(3 + 1) = (1)/(4) = положительное.

4. Выбрать интервалы: Нам нужно, где выражение > 0 (положительное), то есть x < -1 или x > 2.
   Точка x = -1 исключена (запрещенное значение), а x = 2 не включается, так как неравенство строгое (>).
   Ответ: x < -1 или x > 2.

4. Показ решений на числовой прямой

• Ставим точки на x = -1 (запрещенное значение, пустой кружок) и x = 2 (корень, пустой кружок для строгого «>»).

• Рисуем стрелки влево от -1 и вправо от 2, где выражение положительное.
  Для нестрогих неравенств (≥, ≤) корни (где числитель = 0) включаются, и кружки закрашиваются, но запрещенные значения (где знаменатель = 0) всегда исключаются.

5. Проверка решения

Подставляем число из ответа:
Для x = 3 в (x — 2)/(x + 1) > 0: (3 — 2)/(3 + 1) = 1/4, а 1/4 > 0 — верно!
Для x = 0 (не в решении): (0 — 2)/(0 + 1) = -2/1 = -2, а -2 не больше 0 — правильно!

6. Зачем это нужно?

Рациональные неравенства помогают решать задачи:

• Какие значения скорости подходят, чтобы время в пути было меньше заданного?

• Сколько товара можно продать, чтобы прибыль была положительной?