Тема урока: Свойства квадратичной функции y=ax²+bx+c 😊

Цели урока 🎯

На этом уроке мы разберёмся, что такое квадратичная функция y=ax²+bx+c, изучим её свойства и научимся строить её график. Мы поймём, как коэффициенты a, b и c влияют на форму и положение графика, и потренируемся находить ключевые точки! 📈

Основная часть урока 📚

1. Что такое квадратичная функция y=ax²+bx+c? 🤔

Квадратичная функция — это функция вида y=ax²+bx+c, где:

• x — это переменная, которую мы выбираем.

• y — это результат функции, зависящий от x.

• a — коэффициент, который определяет, как выглядит график (широкий или узкий, и в какую сторону он направлен).

• b — коэффициент, который влияет на положение графика.

• c — число, которое показывает, где график пересекает ось y.

Пример: Для функции y=2x²+4x+1 коэффициенты: a=2, b=4, c=1. Это значит, что график будет узким, направленным вверх, и пересекает ось y в точке (0, 1).

Свойства квадратичной функции:

• График — это парабола, которая может быть направлена вверх ⬆️ или вниз ⬇️.

• Если a > 0, парабола открыта вверх (как чаша).

• Если a < 0, парабола открыта вниз.

• Коэффициент a влияет на ширину параболы: чем больше |a|, тем уже парабола.

• c — это точка пересечения графика с осью y (при x=0, y=c).

• Парабола имеет вершину — самую высокую или низкую точку, которая зависит от a и b.

Пример на графике: Для y=x²+2x+1 при x=0: y=1, а график — это парабола, открытая вверх, с вершиной в определённой точке. 😎

2. Как выглядит график квадратичной функции? 🌟

График квадратичной функции всегда представляет собой параболу — плавную кривую, похожую на дугу. Вот что важно знать:

• Направление параболы: Зависит от знака a. Если a > 0, парабола смотрит вверх, если a < 0 — вниз.

• Вершина параболы: Это точка, где парабола меняет направление (высшая или низшая точка). Её положение зависит от a и b.

• Пересечение с осью y: Это точка (0, c), где c — свободный член.

• Симметрия: Парабола симметрична относительно вертикальной линии, проходящей через вершину.

Пример: Для y=-x²+2 график — парабола, открытая вниз, пересекает ось y в точке (0, 2), и её вершина выше оси x.

3. Как коэффициенты влияют на график? ⚖️

• Коэффициент a:

  • Если |a| большое (например, a=3), парабола узкая.

  • Если |a| маленькое (например, a=0.5), парабола широкая.

  • Знак a определяет направление: вверх (a > 0) или вниз (a < 0).

• Коэффициент b: Влияет на положение вершины параболы (сдвигает её влево или вправо).

• Коэффициент c: Показывает, где парабола пересекает ось y, и сдвигает график вверх или вниз.

Пример: Сравним y=x² и y=x²+3. Вторая парабола сдвинута вверх на 3 единицы, потому что c=3.

4. Как строить график квадратичной функции? ✏️

Чтобы построить график функции y=ax²+bx+c, нужно:

1. Найти точку пересечения с осью y: Подставь x=0, тогда y=c.

2. Найти вершину параболы: Координата x вершины равна -b/(2a). Подставь это x в функцию, чтобы найти y.

3. Найти ещё пару точек: Выбери два значения x (например, x=1 и x=-1), подставь их в функцию и вычисли y.

4. Поставь точки на координатной плоскости и соедини их плавной кривой, чтобы получилась парабола.

Пример: Для y=x²+2x+1:

• При x=0: y=1 (точка (0, 1)).

• Вершина: x=-2/(2·1)=-1, подставляем x=-1: y=(-1)²+2·(-1)+1=1-2+1=0 (точка (-1, 0)).

• При x=1: y=1²+2·1+1=4 (точка (1, 4)).

• Соединяем точки плавной кривой — получаем параболу, открытую вверх.

Практика 🛠️

Попробуем построить график для y=2x²-4x+1:

• Пересечение с осью y: при x=0: y=1 (точка (0, 1)).

• Вершина: x=-(-4)/(2·2)=4/4=1, подставляем x=1: y=2·1²-4·1+1=2-4+1=-1 (точка (1, -1)).

• Ещё точка: при x=2: y=2·2²-4·2+1=8-8+1=1 (точка (2, 1)).

• Рисуем параболу, открытую вверх, через точки (0, 1), (1, -1), (2, 1).