Тема урока: Квадратные неравенства 😊

Цели урока 🎯

Сегодня мы разберёмся, что такое квадратные неравенства, как их решать и как использовать их в задачах. Всё будет просто, понятно и с примерами, чтобы каждый смог освоить тему! 🚀

Что такое квадратное неравенство? 🤔

Квадратное неравенство — это выражение, где есть переменная в квадрате (например, x²), числа и знаки сравнения: >, <, ≥, ≤. Пример: x² — 4 < 0.

• Это похоже на квадратное уравнение, но вместо знака «=» у нас знак неравенства.

• Мы ищем все значения x, которые делают неравенство верным.

Пример:

Если у нас есть x² < 9, мы ищем такие x, при которых квадрат числа меньше 9. 😄

Как решать квадратные неравенства? 🛠️

Чтобы решить квадратное неравенство, мы делаем несколько шагов:

1. Переносим все числа в одну сторону, чтобы получить ноль с другой стороны (например, x² — 9 < 0).

2. Находим корни уравнения, которое получается, если заменить знак неравенства на «=».

3. Делим числовую прямую на интервалы с помощью этих корней.

4. Проверяем, в каких интервалах неравенство выполняется.

5. Записываем ответ в виде интервалов или показываем на числовой прямой.

Пример:

Решим x² — 4 > 0:

1. Уравнение: x² — 4 = 0. Корни: x = 2 и x = -2.

2. Эти корни делят числовую прямую на три интервала: x < -2, -2 < x < 2, x > 2.

3. Проверяем знаки:

   • Для x = -3: (-3)² — 4 = 9 — 4 = 5 > 0 — подходит.

   • Для x = 0: 0² — 4 = -4 < 0 — не подходит.

   • Для x = 3: 3² — 4 = 9 — 4 = 5 > 0 — подходит.

4. Ответ: x < -2 или x > 2. На числовой прямой это стрелки влево от -2 и вправо от 2. 📏

Типы квадратных неравенств 🌟

Квадратные неравенства могут быть разными в зависимости от знака:

• x² — a > 0: Решение — вне корней (например, x < -√a или x > √a).

• x² — a < 0: Решение — между корнями (например, -√a < x < √a).

• Если есть ≥ или ≤, включаем корни в ответ (закрашиваем точки на числовой прямой).

Пример:

Решим x² ≤ 16:

1. Уравнение: x² — 16 = 0. Корни: x = 4, x = -4.

2. Проверяем интервалы:

   • Для x = -5: (-5)² = 25 > 16 — не подходит.

   • Для x = 0: 0² = 0 ≤ 16 — подходит.

   • Для x = 5: 5² = 25 > 16 — не подходит.

3. Ответ: -4 ≤ x ≤ 4. На числовой прямой это отрезок от -4 до 4 с закрашенными точками. 🎉

Зачем нужны квадратные неравенства? 🌍

Квадратные неравенства помогают решать задачи из реальной жизни! Например:

• Определить, в каких пределах может быть скорость объекта, чтобы он не превысил допустимую энергию. 🚗

• Найти допустимые размеры коробки, чтобы она помещалась в багажник. 📦