Тема урока: Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств 😊

Цели урока 🎯

Сегодня мы разберёмся, что такое рациональные неравенства, как их решать, и как работать с системами рациональных неравенств. Всё объясним просто, с примерами и без сложностей, чтобы каждый понял! 🚀

Что такое рациональное неравенство? 🤔

Рациональное неравенство — это выражение, в котором есть переменная (например, x) в виде дроби, и знаки сравнения: >, <, ≥, ≤. Пример: (x + 1)/(x — 2) > 0.

• Это выражение, где числитель и знаменатель — многочлены (простые выражения с x или x²).

• Наша задача — найти все значения x, при которых неравенство верно.

• Важно: Знаменатель не может быть равен нулю, так как делить на ноль нельзя!

Пример:

Для неравенства x/(x + 3) < 0 мы ищем такие x, чтобы дробь была отрицательной. 😄

Как решать рациональные неравенства? 🛠️

Чтобы решить рациональное неравенство, выполняем следующие шаги:

1. Переносим всё в одну сторону, чтобы получить ноль (например, (x + 1)/(x — 2) > 0).

2. Находим точки, где числитель равен нулю (корни числителя) и где знаменатель равен нулю (точки, где дробь не определена).

3. Делим числовую прямую на интервалы с помощью этих точек.

4. Проверяем знаки дроби в каждом интервале (положительная или отрицательная).

5. Записываем ответ в виде интервалов или показываем на числовой прямой.

Пример:

Решим (x — 1)/(x + 2) > 0:

1. Числитель: x — 1 = 0 → x = 1.

2. Знаменатель: x + 2 = 0 → x = -2.

3. Точки x = 1 и x = -2 делят числовую прямую на интервалы: x < -2, -2 < x < 1, x > 1.

4. Проверяем знаки:

   • Для x = -3: (-3 — 1)/(-3 + 2) = -4/-1 = 4 > 0 — подходит.

   • Для x = 0: (0 — 1)/(0 + 2) = -1/2 < 0 — не подходит.

   • Для x = 2: (2 — 1)/(2 + 2) = 1/4 > 0 — подходит.

5. Ответ: x < -2 или x > 1. На числовой прямой — стрелки влево от -2 и вправо от 1. 📏

Системы рациональных неравенств 🌟

Система рациональных неравенств — это несколько рациональных неравенств, которые должны быть верны одновременно. Например:

• x/(x — 1) > 0

• (x + 2)/(x + 3) < 0

Решение — это все значения x, которые подходят для всех неравенств системы.

Как решать систему рациональных неравенств? 🧩

1. Решаем каждое неравенство отдельно, находя корни числителя и знаменателя.

2. Определяем интервалы, где каждое неравенство выполняется.

3. Находим общую часть решений (пересечение интервалов).

4. Проверяем ответ на числовой прямой.

Пример:

Решим систему:

• (x — 2)/(x + 1) > 0

• x/(x — 3) < 0

1. Первое неравенство: (x — 2)/(x + 1) > 0.

   • Числитель: x — 2 = 0 → x = 2.

   • Знаменатель: x + 1 = 0 → x = -1.

   • Интервалы: x < -1, -1 < x < 2, x > 2.

   • Знак положительный для x < -1 и x > 2.

2. Второе неравенство: x/(x — 3) < 0.

   • Числитель: x = 0.

   • Знаменатель: x — 3 = 0 → x = 3.

   • Интервалы: x < 0, 0 < x < 3, x > 3.

   • Знак отрицательный для 0 < x < 3.

3. Общая часть: x < -1 (из первого) и 0 < x < 3 (из второго) не пересекаются.
   Ответ: нет решений. 😕

Зачем это нужно? 🌍

Рациональные неравенства и их системы помогают решать задачи из жизни! Например:

• Определить, сколько часов можно работать, чтобы затраты не превысили доход. 💼

• Найти диапазон цен на товары, чтобы они были выгодны для продажи. 🛍️