Сложение и вычитание векторов: геометрический смысл (правило параллелограмма, правило треугольника)
Почему векторы нельзя складывать как числа?
Два груза массой 3 кг и 4 кг вместе дают 7 кг — просто сложили числа. Но если два человека тянут ящик с силами 3 Н и 4 Н в разных направлениях — результат не 7 Н. Направление меняет всё. Именно поэтому для сложения векторов нужны геометрические правила, а не обычная арифметика.
Результирующий вектор (→c = →a + →b) — это такой вектор, действие которого эквивалентно совместному действию векторов →a и →b. Найти его можно двумя геометрическими способами: правилом треугольника и правилом параллелограмма.
Правило треугольника
Самый простой способ сложить два вектора — «приставить» их друг к другу конец-в-начало.
Алгоритм
1. Нарисуй вектор →a.
2. Из конца →a нарисуй вектор →b (не смещая его начало в произвольную точку — только в конец →a).
3. Соедини начало →a с концом →b. Эта стрелка и есть →c = →a + →b.
Три вектора образуют треугольник — отсюда название правила. Результирующий вектор — «замыкающая» сторона треугольника, направленная от начала первого к концу последнего.
Правило параллелограмма
Второй способ — отложить оба вектора из одной общей точки и достроить параллелограмм. Диагональ — результирующий вектор.
Алгоритм
1. Из одной точки O отложи оба вектора →a и →b.
2. Дострой параллелограмм: проведи линии, параллельные →a через конец →b и параллельные →b через конец →a.
3. Диагональ параллелограмма, проведённая из точки O — это →c = →a + →b.
Оба правила дают одинаковый результат
Правило треугольника и правило параллелограмма — два разных способа изобразить одно и то же: правило треугольника получается, если «срезать» один угол параллелограмма. Результирующий вектор в обоих случаях одинаков.
Частные случаи: когда векторы сонаправлены или противоположны
| Случай | Модуль результирующего | Направление |
|---|---|---|
| →a и →b сонаправлены (угол 0°) | |→c| = |→a| + |→b| — максимум | Совпадает с →a и →b |
| →a и →b противоположны (угол 180°) | |→c| = ||→a| − |→b|| — минимум | По бо́льшему вектору |
| →a и →b перпендикулярны (угол 90°) | |→c| = √(|→a|² + |→b|²) | По диагонали прямоугольника |
| |→a| = |→b|, угол 120° | |→c| = |→a| = |→b| | По биссектрисе угла |
Важное неравенство
||→a| − |→b|| ≤ |→a + →b| ≤ |→a| + |→b|
Модуль суммы никогда не превышает сумму модулей и не меньше разности модулей.
Вычитание векторов
Вычитание вектора — это сложение с противоположным вектором:
→a − →b = →a + (−→b)
Вектор −→b имеет тот же модуль, что и →b, но направлен противоположно.
Геометрически: если оба вектора отложены из одной точки O, то разность →a − →b — это вектор, направленный от конца →b к концу →a.
Физический смысл вычитания: изменение вектора скорости Δ→v = →v₂ − →v₁ — именно через вычитание векторов находят направление ускорения.
Применение в физике
| Задача | Как применяется сложение векторов |
|---|---|
| Лодка пересекает реку | →v_результ = →v_лодки + →v_течения — правило параллелограмма |
| Два человека тянут ящик | →F_результ = →F₁ + →F₂ — диагональ параллелограмма сил |
| Суммарное перемещение за несколько этапов | →s = →s₁ + →s₂ + … — цепочка по правилу треугольника |
Итог
Запомни главное
Правило треугольника: приставить конец одного к началу другого — результат замыкает треугольник.
Правило параллелограмма: оба из одной точки — диагональ и есть сумма.
Оба правила дают одинаковый результирующий вектор.
Вычитание: →a − →b = →a + (−→b). Геометрически — от конца →b к концу →a.
Модуль суммы: ||→a|−|→b|| ≤ |→a+→b| ≤ |→a|+|→b|.
Ответ. Силы опорны — применяются последовательное Пифагора: |→F| = √(40²+30²) = √(1600 + 900) = √2500 = 50 Н . Направление: tan α = 30/40 = 0,75 → α ≈ 37° к востоку от севера (то есть северо-восточное направление). Правило параллелограммы дает фигуру, диагональ которой — результирующая.
Ответ. а) Сонаправлены: |→a + →b| = 8 + 6 = 14 м (максимум). б) Противоположны: |→a + →b| = |8 − 6| = 2 м (минимум). в) Перпендикулярны: |→a + →b| = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 м . Все три результата разные — хотя модули предлагаемых одинаковы. Это показывает, что для векторов принципиальный принцип.
Ответ. При правильном углу угла выстраиваются цепочки: конец первого соответствует началу второго. При правиле параллелограммы оба вектора откладываются из одной общей точки, а результат — диагональ. Геометрически это одна и та же конструкция: если в параллелограмме «убрать» один треугольник, получится треугольник по правилам первого метода. Диагональная параллелограмма — то же самое, что замыкающая сторона треугольника. Поэтому результирующий вектор в обоих случаях совпадает по модулю и направлению.
Оцените урок:
