Задачи на встречное движение, составление системы уравнений
Почему уравнения, а не «формулы из головы»?
Многие ученики решают задачи на движение «на интуиции»: время сближения = расстояние / (сумма скоростей). Это работает для простых случаев — но стоит задаче усложниться, и интуиция подводит. Метод уравнений движения работает всегда: для любого числа тел, любых направлений, любых начальных условий.
Универсальный алгоритм
1. Ввести систему координат — выбрать начало и положительное направление.
2. Записать уравнение x(t) = x₀ + vₓ · t для каждого тела.
3. Составить условие задачи в виде уравнения или системы.
4. Решить систему алгебраически.
5. Проверить ответ на физическую разумность.
Тип 1. Встречное движение
Два тела движутся навстречу друг другу. Условие встречи: в один и тот же момент времени они оказываются в одной точке — x₁(t) = x₂(t).
Задача 1.1. Базовая встречная
Два велосипедиста стартуют одновременно навстречу друг другу: первый из точки x = 0 со скоростью 4 м/с, второй из точки x = 120 м со скоростью 6 м/с (движется влево). Когда и где встретятся?
Ось Ox: вправо — положительное направление.
x₁(t) = 0 + 4·t = 4t
x₂(t) = 120 + (−6)·t = 120 − 6t
Условие встречи: x₁ = x₂
4t = 120 − 6t
10t = 120
t = 12 с
Место встречи: x = 4·12 = 48 м
Проверка: x₂ = 120 − 6·12 = 120 − 72 = 48 м ✓
Задача 1.2. Стартуют не одновременно
Первый велосипедист выехал из x = 0 со скоростью 5 м/с. Через 10 секунд ему навстречу из точки x = 200 м выехал второй со скоростью 3 м/с. Когда и где встретятся?
Пусть t — время с момента старта первого велосипедиста.
Второй стартует через 10 с, значит едет только (t − 10) секунд.
x₁(t) = 5t
x₂(t) = 200 − 3·(t − 10) = 200 − 3t + 30 = 230 − 3t
Условие: x₁ = x₂
5t = 230 − 3t
8t = 230
t = 28,75 с (от старта первого)
Второй едет: 28,75 − 10 = 18,75 с
Место: x = 5·28,75 = 143,75 м
Тип 2. Движение вдогонку
Одно тело догоняет другое. Условие обгона то же — x₁(t) = x₂(t) — но теперь оба тела движутся в одном направлении, и нас интересует момент, когда более быстрое нагонит медленное.
Задача 2.1. Классический обгон
Автобус едет со скоростью 10 м/с. Велосипедист отстаёт от него на 50 м и едет со скоростью 15 м/с. Через сколько времени велосипедист догонит автобус?
Начало координат — положение велосипедиста в t = 0.
x_вел(t) = 0 + 15t = 15t
x_авт(t) = 50 + 10t
Условие обгона: x_вел = x_авт
15t = 50 + 10t
5t = 50
t = 10 с
Место: x = 15·10 = 150 м от начального положения велосипедиста.
Задача 2.2. Медленнее — не догонит
Что будет, если велосипедист едет медленнее автобуса? Пусть v_вел = 8 м/с, v_авт = 10 м/с, автобус впереди на 50 м.
x_вел(t) = 8t
x_авт(t) = 50 + 10t
Условие: 8t = 50 + 10t → −2t = 50 → t = −25 с
Отрицательное время — физически невозможно. Вывод: велосипедист никогда не догонит автобус — автобус движется быстрее и уходит. Уравнение само «сообщило» об этом через отрицательный ответ.
Тип 3. Система уравнений — несколько условий
Когда в задаче несколько неизвестных (например, неизвестны обе скорости или начальные координаты), одного уравнения встречи недостаточно. Нужна система.
Задача 3.1. Найти скорости из двух условий
Два тела движутся навстречу из точек x = 0 и x = 90 м. Они встретились через 6 с. Известно, что первое тело прошло на 30 м больше второго. Найди скорости обоих тел.
Неизвестные: v₁ и v₂.
Уравнения x(t):
x₁(t) = v₁·t
x₂(t) = 90 − v₂·t
Условие 1 (встреча через 6 с): x₁ = x₂
6v₁ = 90 − 6v₂ → 6v₁ + 6v₂ = 90 → v₁ + v₂ = 15 м/с
Условие 2 (первое прошло на 30 м больше):
s₁ − s₂ = 30 → 6v₁ − 6v₂ = 30 → v₁ − v₂ = 5 м/с
Система:
v₁ + v₂ = 15
v₁ − v₂ = 5
Складываем: 2v₁ = 20 → v₁ = 10 м/с
Тогда: v₂ = 15 − 10 = 5 м/с
Проверка: s₁ = 10·6 = 60 м; s₂ = 5·6 = 30 м; сумма 90 м ✓; разность 30 м ✓
Задача 3.2. Три тела — встреча двух и удаление третьего
Из точки x = 0 одновременно стартуют: тело A со скоростью +8 м/с и тело B со скоростью −3 м/с. Из точки x = 40 м стартует тело C со скоростью −5 м/с. Когда A встретится с C? Где будет B в этот момент?
xₐ(t) = 8t
x_B(t) = −3t
x_C(t) = 40 − 5t
Встреча A и C: xₐ = x_C
8t = 40 − 5t → 13t = 40 → t = 40/13 ≈ 3,08 с
Место встречи: x = 8·(40/13) = 320/13 ≈ 24,6 м
Положение B в этот момент:
x_B = −3·(40/13) = −120/13 ≈ −9,2 м
B уже за началом координат — ушло в отрицательную сторону.
Типичные ошибки метода уравнений
| Ошибка | Как избежать |
|---|---|
| Забыть знак скорости при встречном движении | Сначала выбрать ось и её направление. Скорость против оси — всегда со знаком «−». |
| Неправильно учесть задержку старта | Если тело стартует через τ секунд, его время движения = (t − τ), не t. |
| Отрицательный ответ для времени | Это не ошибка в вычислениях — это физический ответ: события при данных условиях не произойдёт. |
| Перепутать x₀ и скорость при составлении уравнения | Шаблон: x(t) = (начальная координата) + (проекция скорости) · t. Начальная координата — то, где тело в t = 0. |
Итог
Запомни главное
Для каждого тела записать: x(t) = x₀ + vₓ·t.
Условие встречи/обгона: x₁(t) = x₂(t) → уравнение относительно t.
Несколько неизвестных → составить систему уравнений из нескольких условий.
Отрицательное t → событие невозможно при данных условиях.
Метод уравнений работает для любого числа тел и любых условий — это и есть его преимущество перед «формулами из головы».
Ответ. Пусть t — время с момента старта велосипедиста. Пешеход идет уже (t + 20) секунд. x_пеш = 1,5·(t + 20) = 1,5t + 30. x_вел = 4t. Условие обгона: 4t = 1,5t + 30 → 2,5t = 30 → t = 12 с . Место: x = 4·12 = 48 м . Проверка: x_пеш = 1,5·32 = 48 м ✓.
Ответ. х₁(т) = 20т; х₂(т) = 1800 − 25т. Условие встречи: 20т = 1800 − 25т → 45т = 1800 → t = 40 с . Место: x = 20·40 = 800 м . Проверка: x₂ = 1800 − 25·40 = 1800 − 1000 = 800 м ✓.
Ответ. Пусть v₁ и v₂ — скорость. Условие встречи: 5v₁ + 5v₂ = 70 → v₁ + v₂ = 14 м/с . Условие путей: s₂ = 1,5·s₁ → 5v₂ = 1,5·5v₁ → v₂ = 1,5v₁ . Подставляем: v₁ + 1,5v₁ = 14 → 2,5v₁ = 14 → v₁ = 5,6 м/с ; v₂ = 1,5·5,6 = 8,4 м/с . Проверка: 5·5,6 + 5·8,4 = 28 + 42 = 70 м ✓.
Оцените урок:
