Задачи на переплавание реки, движение лодки в потоке
Когда лодка переплывает реку, на неё действуют одновременно два движения: собственная скорость лодки и скорость течения воды. Если просто грести прямо к противоположному берегу, течение отнесёт лодку вниз. А если нужно попасть точно напротив, приходится направлять лодку под углом против течения. В этом уроке мы научимся решать такие задачи с помощью векторного подхода — простого и наглядного.
Главная идея: сложение скоростей
Лодка движется в воде, вода движется относительно земли. Для наблюдателя на берегу скорость лодки складывается из скорости лодки относительно воды и скорости самой воды (течения).
Скорость лодки относительно земли = Скорость лодки в стоячей воде + Скорость течения реки
В виде формулы:
Здесь:
- v(земля) — скорость, которую видит человек на берегу
- v(лодка) — скорость лодки в стоячей воде (её собственная мощность)
- v(река) — скорость течения
Самый важный момент: скорости — это векторы. Их нельзя просто складывать как числа, нужно учитывать направление.
Три ситуации при переправе
1. Лодка плывёт перпендикулярно берегу
Лодка направлена строго вперёд, поперёк реки. Течение направлено вдоль берега. Эти две скорости перпендикулярны друг другу.
Тогда результирующая скорость находится по теореме Пифагора:
Время переправы зависит только от ширины реки и скорости лодки поперёк реки:
А снос — это расстояние, на которое течение унесёт лодку за это время:
Пример 1
Ширина реки 600 м, скорость лодки 5 м/с, скорость течения 3 м/с. Лодку направили прямо.
Время: t = 600 / 5 = 120 с
Снос: 3 · 120 = 360 м
Скорость относительно земли: √(5² + 3²) = √34 ≈ 5,83 м/с
2. Переправа без сноса
Чтобы лодка попала точно напротив, нужно направить её под углом против течения. Тогда составляющая скорости лодки вдоль берега скомпенсирует течение.
В этом случае результирующая скорость направлена прямо поперёк реки, а её величина:
Обязательное условие
Такая переправа возможна только если v(лодка) > v(река). Иначе лодка не сможет бороться с течением.
Время переправы:
Пример 2
Ширина реки 800 м, скорость лодки 10 м/с, течение 6 м/с. Найти время переправы без сноса.
v(земля) = √(10² — 6²) = √64 = 8 м/с
Время: t = 800 / 8 = 100 с
3. Кратчайшее время переправы
Если важнее всего переплыть реку как можно быстрее, лодку нужно направить перпендикулярно берегу (как в первом случае). Тогда время будет минимальным:
Интересно, что это время не зависит от скорости течения. Течение только сносит лодку, но не мешает пересечь ширину реки.
Как решать: пошаговый план
Выпишите отдельно: ширину реки d, скорость лодки v(лодка), скорость течения v(река).
Что нужно найти? Минимальное время? Переправу без сноса? Просто снос?
Для перпендикулярного направления: t = d / v(лодка)
Для движения без сноса: v(земля) = √(v(лодка)² — v(река)²)
Подставьте числа и получите ответ.
Типичные ошибки
Ошибка 1
Складывать скорости как обычные числа. Помните: скорости — векторы, направления важны!
Ошибка 2
Думать, что течение замедляет переправу. Нет, оно только сносит в сторону. Время пересечения ширины реки зависит только от поперечной составляющей скорости.
Ошибка 3
Забыть проверить, возможно ли движение без сноса. Если v(лодка) меньше v(река), формула √(v(лодка)² — v(река)²) не работает — под корнем отрицательное число.
Решение:
t = 500 / 10 = 50 с
Снос = 5 · 50 = 250 м
Ответ: 50 с, снос 250 м.
Скорость лодки должна быть больше скорости течения: v(лодка) > v(река).
v(земля) = √(17² — 8²) = √(289 — 64) = √225 = 15 м/с
t = 800 / 15 ≈ 53,3 с
Ответ: около 53 секунд.
Оцените урок:
