Вывод формулы: F_А = ρ_ж·g·V_погр через разность давлений на нижнюю и верхнюю грани

Почему кусок дерева всплывает, а такой же по размеру кусок металла тонет? Почему в воде тяжёлые предметы поднимать легче, чем на суше? За всё это отвечает одна и та же сила — выталкивающая сила, или сила Архимеда. И самое интересное — её можно вывести самостоятельно, зная всего одну вещь: как давление жидкости зависит от глубины.

Откуда берётся выталкивающая сила

Мы уже знаем: чем глубже точка в жидкости, тем больше на неё давит жидкость сверху. Давление на глубине h равно:

p = ρ_ж · g · h

Если погрузить тело в жидкость, то на его нижнюю грань давление будет больше, чем на верхнюю — просто потому, что нижняя грань находится глубже. Эта разница давлений и создаёт выталкивающую силу.

Вывод формулы шаг за шагом

Возьмём для простоты прямоугольный брусок с площадью грани S, полностью погружённый в жидкость плотностью ρ_ж. Верхняя грань находится на глубине h₁, нижняя — на глубине h₂ (где h₂ > h₁).

Шаг 1. Сила давления на верхнюю грань

Давление на верхнюю грань: p₁ = ρ_ж · g · h₁

Сила давления на верхнюю грань (направлена вниз):

F₁ = p₁ · S = ρ_ж · g · h₁ · S

Шаг 2. Сила давления на нижнюю грань

Давление на нижнюю грань: p₂ = ρ_ж · g · h₂

Сила давления на нижнюю грань (направлена вверх):

F₂ = p₂ · S = ρ_ж · g · h₂ · S

Шаг 3. Найдём равнодействующую силу

Так как F₂ (вверх) больше, чем F₁ (вниз), тело получает результирующую силу, направленную вверх:

F_А = F₂ − F₁ = ρ_ж · g · h₂ · S − ρ_ж · g · h₁ · S

F_А = ρ_ж · g · S · (h₂ − h₁)

Шаг 4. Замечаем, что (h₂ − h₁) — это высота тела

Разность глубин h₂ − h₁ — это просто высота бруска h. А произведение площади грани на высоту — это объём погружённой части тела:

S · (h₂ − h₁) = S · h = V_погр

Почему боковые грани не влияют на результат

У бруска есть ещё четыре боковые грани. На них тоже действует давление жидкости, но эти силы направлены горизонтально, и для каждой боковой грани найдётся точно такая же грань с противоположной стороны на той же глубине.

Практические примеры

Пример 1: Почему в воде легче поднимать тяжести

Когда ты поднимаешь камень под водой, сила Архимеда частично компенсирует его вес, поэтому кажется, что камень стал легче. На суше этой силы нет — только выталкивание воздуха, а оно намного слабее из-за малой плотности воздуха.

Пример 2: Почему корабль из стали не тонет

Сталь плотнее воды, но корабль имеет форму с большой полой частью, поэтому вытесняет огромный объём воды. Сила Архимеда, действующая на весь этот объём, оказывается больше веса корабля — и он плавает.

Решение задач

Задача 1. Найти силу Архимеда

Условие: тело объёмом 0,002 м³ полностью погружено в воду (ρ воды = 1000 кг/м³, g = 9,8 м/с²). Найди силу Архимеда.

Решение:

F_А = ρ_ж · g · V_погр = 1000 · 9,8 · 0,002 = 19,6 Н

Ответ: сила Архимеда равна 19,6 Н.

Задача 2. Всплывёт тело или потонет

Условие: кусок дерева объёмом 0,01 м³ и массой 6 кг полностью погрузили в воду. Определи, всплывёт он или останется на дне (ρ воды = 1000 кг/м³, g = 9,8 м/с²).

Решение:

Шаг 1. Найдём вес тела: mg = 6 · 9,8 = 58,8 Н

Шаг 2. Найдём силу Архимеда: F_А = 1000 · 9,8 · 0,01 = 98 Н

Шаг 3. Сравним: F_А = 98 Н > mg = 58,8 Н

Ответ: сила Архимеда больше веса, значит тело всплывёт.

Задача 3. Кажущаяся потеря веса

Условие: камень весом 40 Н в воздухе показывает на пружинных весах 25 Н, если его полностью погрузить в воду. Чему равна сила Архимеда, действующая на камень?

Решение:

F_А = вес в воздухе − вес в воде = 40 − 25 = 15 Н

Ответ: сила Архимеда равна 15 Н — именно настолько «легче» кажется камень под водой.

Таблица: плотности жидкостей

Краткий итог

Вопросы и ответы