Функция y=ax²+bx+c, её свойства и график

Тема урока: Функция y=ax²+bx+c, её свойства и график 📚

Цели урока 🎯

• Научиться находить вершину параболы по формуле x₀ = -b/(2a) 🧠

• Определять направление ветвей и ось симметрии 📈

• Освоить алгоритм построения графика по опорным точкам 🛠

Основная часть урока 📝

1. Общий вид квадратичной функции 🤔

Квадратичная функция — это y = ax² + bx + c, где a ≠ 0. Её график — такая же парабола, как у y = ax², только сдвинутая по осям. Число c показывает, где график пересекает ось y: это точка (0; c).

2. Ветви и ось симметрии 🔍

• a > 0 — ветви вверх, вершина — самая нижняя точка.

• a < 0 — ветви вниз, вершина — самая верхняя точка.

• Ось симметрии — вертикальная прямая x = x₀, проходящая через вершину.

3. Вершина параболы 🛠

✨ Важно: абсцисса вершины x₀ = -b/(2a), а ординату y₀ находим подстановкой x₀ в формулу функции.

Пример 1. Исследуем y = x² — 4x + 3.

1. a = 1 > 0 — ветви вверх; c = 3 — график проходит через (0; 3).

2. x₀ = -(-4)/(2 · 1) = 4/2 = 2; y₀ = 2² — 4 · 2 + 3 = 4 — 8 + 3 = -1. Вершина (2; -1).

3. Нули функции: x² — 4x + 3 = 0. Подходят x = 1 и x = 3: проверка 1 — 4 + 3 = 0 и 9 — 12 + 3 = 0. Парабола пересекает ось x в точках 1 и 3.

4. Симметрия: точки x = 1 и x = 3 равноудалены от оси x = 2 — всё сходится.

4. Алгоритм построения графика 📋

1. Определи направление ветвей по знаку a.

2. Найди вершину: x₀ = -b/(2a), затем y₀ подстановкой.

3. Проведи ось симметрии x = x₀.

4. Отметь точку (0; c) и симметричную ей относительно оси.

5. Соедини точки плавной кривой.

5. Пример с ветвями вниз 📉

Пример 2. Исследуем y = -2x² + 4x + 1.

1. a = -2 < 0 — ветви вниз, у функции есть наибольшее значение.

2. x₀ = -4/(2 · (-2)) = -4/(-4) = 1; y₀ = -2 · 1 + 4 + 1 = 3. Вершина (1; 3) — точка максимума.

3. Опорные точки: (0; 1) и симметричная ей (2; 1). Проверка: y(2) = -2 · 4 + 8 + 1 = 1 — верно.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Считать x₀ = b/(2a) без минуса → ✅ x₀ = -b/(2a): для y = x² — 4x + 3 получаем x₀ = 2, а не -2.

• ❌ Думать, что y₀ = c → ✅ c — точка пересечения с осью y, а y₀ считается подстановкой x₀ в формулу.

• ❌ Определять направление ветвей по b или c → ✅ на ветви влияет только знак a.

• ❌ Строить график по одной вершине → ✅ нужны опорные точки по обе стороны от оси симметрии.

Мини-конспект 📋

• y = ax² + bx + c при a ≠ 0 — квадратичная функция, график — парабола.

• a > 0 — ветви вверх, a < 0 — вниз.

• Вершина: x₀ = -b/(2a), y₀ — подстановкой x₀.

• Ось симметрии — прямая x = x₀.

• График пересекает ось y в точке (0; c).

• Каждую опорную точку дублируй симметрично относительно оси.

Зачем это нужно? 🚀

• Полёт мяча и струи воды описывается квадратичной функцией — вершина показывает максимальную высоту ⚽

• Задачи «найди наибольшую площадь при данном заборе» решаются через вершину параболы 📐

• Арки мостов часто имеют форму параболы — она равномерно распределяет нагрузку 🌉