Разложение квадратного трёхчлена на множители
Тема урока: Разложение квадратного трёхчлена на множители 📚
Цели урока 🎯
Понять формулу разложения трёхчлена через его корни 🧠
Научиться раскладывать трёхчлены с любым старшим коэффициентом 🛠
Применять разложение для сокращения алгебраических дробей ✂️
Основная часть урока 📝
1. Что такое квадратный трёхчлен и главная формула 🤔
Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax² + bx + c, где a ≠ 0. Разложить его на множители — значит записать в виде произведения скобок. Главная формула:
ax² + bx + c = a(x − x1)(x − x2), где x1 и x2 — корни уравнения ax² + bx + c = 0.
✨ Важно: в каждой скобке стоит именно минус — из x вычитается корень, даже если сам корень отрицательный.
2. Пример 1: старший коэффициент равен 1 🛠
Разложим x² − 5x + 6.
Находим корни: x² − 5x + 6 = 0, D = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1.
x = (5 ± 1)/2, то есть x1 = 2, x2 = 3.
Записываем разложение: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Проверка раскрытием скобок: (x − 2)(x − 3) = x² − 3x − 2x + 6 = x² − 5x + 6 — верно! ✅
3. Пример 2: старший коэффициент не равен 1 🔍
Разложим 2x² + x − 3.
Решаем 2x² + x − 3 = 0: D = 1² − 4·2·(−3) = 1 + 24 = 25.
x = (−1 ± 5)/4: x1 = 1, x2 = −1,5.
Разложение: 2(x − 1)(x + 1,5). Двойку удобно внести во вторую скобку: (x − 1)(2x + 3).
Проверка: (x − 1)(2x + 3) = 2x² + 3x − 2x − 3 = 2x² + x − 3 — верно! ✅
✨ Важно: множитель a терять нельзя — без двойки получился бы совсем другой многочлен.
4. Пример 3: сокращаем алгебраическую дробь ✂️
Сократим дробь (x² − 4x + 3)/(x² − 1).
Числитель: у x² − 4x + 3 = 0 сумма корней 4, произведение 3 — корни 1 и 3. Значит, x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3).
Знаменатель — разность квадратов: x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
Сокращаем общий множитель (x − 1): получаем (x − 3)/(x + 1) при x ≠ 1 и x ≠ −1.
5. Когда разложить не получится ⛔
Если D < 0, у трёхчлена нет корней, и на линейные множители он не раскладывается. Пример: x² + x + 1, здесь D = 1 − 4 = −3 < 0 — оставляем трёхчлен как есть.
Типичные ошибки ⚠️
❌ Пишут скобки с плюсом: (x + 2)(x + 3) для корней 2 и 3 → ✅ по формуле «x минус корень»: (x − 2)(x − 3).
❌ Теряют старший коэффициент: 2x² + x − 3 = (x − 1)(x + 1,5) → ✅ 2(x − 1)(x + 1,5), то есть (x − 1)(2x + 3).
❌ «Сокращают» дробь, вычёркивая слагаемые x² сверху и снизу → ✅ сокращать можно только общие множители после разложения.
❌ При D < 0 подгоняют несуществующие «корни» → ✅ честно записать: разложения на линейные множители нет.
Готовишься к контрольной? 🎓
Разложение трёхчлена — одна из самых частых задач в контрольных за 8 класс. В «Моей школе LS» учитель на живом онлайн-уроке в малой группе прорешает с тобой столько трёхчленов, сколько нужно, чтобы рука делала всё сама.
Мини-конспект 📋
Формула: ax² + bx + c = a(x − x1)(x − x2).
Корни находим из уравнения ax² + bx + c = 0 (дискриминант или Виета).
В скобках всегда «x минус корень», знак корня учитывается автоматически.
При a ≠ 1 коэффициент ставим перед скобками или вносим в одну из них.
D < 0 — разложения на линейные множители нет.
Проверка: раскрыть скобки и сравнить с исходным трёхчленом.
Зачем это нужно? 🚀
Сокращение алгебраических дробей и упрощение громоздких выражений ✂️
Решение квадратных неравенств: по множителям сразу видно знаки 📈
Метод интервалов в 9 классе полностью строится на разложении 🧩
По формуле ax² + bx + c = a(x − x1)(x − x2), где x1 и x2 — корни трёхчлена. Если корней нет (D < 0), разложить трёхчлен на линейные множители нельзя.
- Решаем x² + 2x − 8 = 0: D = 4 + 32 = 36.
- x = (−2 ± 6)/2: корни 2 и −4.
- Разложение: (x − 2)(x + 4).
- Проверка: x² + 4x − 2x − 8 = x² + 2x − 8 — верно.
Два способа: раскрыть скобки и сравнить с исходным трёхчленом либо подставить любое удобное число (например, x = 0) в трёхчлен и в разложение — значения обязаны совпасть.
Оцените урок:
