Экстремумы функции

Тема урока: Экстремумы функции 📚

Цели урока 🎯

• Понять, что такое точки максимума и минимума 🧠

• Освоить поиск экстремумов через знак производной 🔢

• Научиться отличать экстремум от «ложной тревоги» f’ = 0 ⚠️

Основная часть урока 📝

1. Что такое точки экстремума? 🤔

Точка x₀ — точка максимума, если значение f(x₀) больше значений функции во всех соседних точках; точка минимума — если меньше. Общее название — точки экстремума. Значения функции в них называют максимумом и минимумом.
✨ Важно: экстремум — понятие локальное, «в своей окрестности». Максимум не обязан быть самым большим значением функции вообще.

2. Необходимое условие: f’ = 0 📌

В точке экстремума гладкой функции касательная горизонтальна, то есть f'(x₀) = 0. Точки, где производная равна нулю или не существует, называют критическими — только среди них могут прятаться экстремумы. Но обратное неверно: у y = x³ производная 3x² равна нулю при x = 0, а экстремума там нет — функция всё время возрастает.

3. Достаточное условие: смена знака 🔄

• Знак f’ меняется с «+» на «−» → точка максимума ⛰

• Знак f’ меняется с «−» на «+» → точка минимума 🕳

• Знак не меняется → экстремума нет ➡️

4. Пример 1. Кубическая функция 🛠

Найдём экстремумы f(x) = x³ − 3x².

1. f'(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2); критические точки x = 0 и x = 2.

2. Знаки f’: при x = −1: 3 · (−1) · (−3) = 9 > 0; при x = 1: 3 · 1 · (−1) = −3 < 0; при x = 3: 3 · 3 · 1 = 9 > 0.

3. В x = 0 знак сменился с «+» на «−» — максимум; f(0) = 0. В x = 2 с «−» на «+» — минимум; f(2) = 8 − 12 = −4.

4. Ответ: точка максимума x = 0 (максимум 0), точка минимума x = 2 (минимум −4).

5. Проверка: f(1) = −2 — между 0 и −4, а f(−1) = −4 меньше f(0). Соседние значения согласуются с ответом. ✅

5. Пример 2. Функция с дробью 🔍

Найдём экстремумы f(x) = x + 4/x.

1. Область определения: x ≠ 0. Производная: f'(x) = 1 − 4/x² = (x² − 4)/x².

2. f'(x) = 0 при x = −2 и x = 2 (точка x = 0 не в области определения).

3. Знаки: при x = −3: (9 − 4)/9 > 0; при x = −1: (1 − 4)/1 < 0; при x = 1: −3 < 0; при x = 3: 5/9 > 0.

4. Ответ: x = −2 — точка максимума, f(−2) = −2 − 2 = −4; x = 2 — точка минимума, f(2) = 2 + 2 = 4.

5. Проверка: f(1) = 5 и f(3) ≈ 4,33 — оба больше f(2) = 4, минимум подтверждается. Заметь: «максимум» −4 меньше «минимума» 4 — так бывает, ведь экстремумы локальные. ✅

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Из f'(x₀) = 0 сразу делают вывод об экстремуме → ✅ обязательно проверь смену знака: у y = x³ в нуле экстремума нет.

• ❌ Путают точку экстремума и экстремум → ✅ точка экстремума — это x, а экстремум — значение функции f(x) в ней.

• ❌ Включают в критические точки те, где функция не определена → ✅ x = 0 для x + 4/x — не критическая точка, а разрыв области определения.

• ❌ Ждут, что максимум всегда больше минимума → ✅ у локальных экстремумов это не обязательно.

Мини-конспект 📋

• Экстремумы — локальные максимумы и минимумы функции.

• Кандидаты — критические точки: f’ = 0 или f’ не существует.

• «+» → «−» — максимум; «−» → «+» — минимум.

• Нет смены знака — нет экстремума (пример: y = x³ в нуле).

• Точка экстремума — x, экстремум — значение f(x).

• Сначала область определения, потом производная и знаки.

• Проверка: сравни f в точке экстремума с соседними значениями.

Зачем это нужно? 🚀

• Бизнес ищет цену, при которой прибыль максимальна, — это задача на экстремум 💰

• Максимальная высота мяча, минимальный расход топлива — физика и инженерия живут экстремумами 🏀

• Задание с исследованием функции на максимум и минимум — постоянный гость профильного ЕГЭ 🎯