Возрастание и убывание функции

Тема урока: Возрастание и убывание функции 📚

Цели урока 🎯

• Связать знак производной с поведением графика 🧠

• Освоить алгоритм поиска промежутков монотонности 🔢

• Научиться грамотно записывать ответ 📈

Основная часть урока 📝

1. Производная и поведение функции 🤔

Функция возрастает, если с увеличением x её значения растут, и убывает, если уменьшаются. Производная — «скорость» функции, поэтому связь простая:

• f'(x) > 0 на промежутке → функция на нём возрастает 📈

• f'(x) < 0 на промежутке → функция на нём убывает 📉

• f'(x) = 0 на целом промежутке → функция постоянна ➖

✨ Важно: интуиция — если скорость положительна, ты движешься вперёд; график «едет» вверх.

2. Алгоритм поиска промежутков 🛠

1. Найти производную f'(x).

2. Решить уравнение f'(x) = 0 и отметить точки, где производная не существует.

3. Нанести эти точки на числовую прямую — она разобьётся на интервалы.

4. Определить знак f’ в каждом интервале по пробной точке.

5. Записать промежутки возрастания (f’ > 0) и убывания (f’ < 0).

3. Пример 1. Квадратичная функция 🔍

Найдём промежутки монотонности f(x) = x² − 4x + 3.

1. f'(x) = 2x − 4.

2. f'(x) = 0 при x = 2.

3. При x < 2 берём пробную точку x = 0: f'(0) = −4 < 0 — убывает. При x > 2 берём x = 3: f'(3) = 2 > 0 — возрастает.

4. Ответ: убывает на (−∞; 2], возрастает на [2; +∞).

5. Проверка значениями: f(0) = 3, f(1) = 0 — действительно уменьшаются; f(3) = 0, f(4) = 3 — растут. ✅

4. Пример 2. Кубическая функция 🧩

Исследуем f(x) = x³ − 3x.

1. f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1).

2. Нули производной: x = −1 и x = 1; прямая разбита на три интервала.

3. Знаки: при x = −2: 3 · (−3) · (−1) = 9 > 0; при x = 0: 3 · (−1) · 1 = −3 < 0; при x = 2: 3 · 1 · 3 = 9 > 0.

4. Ответ: возрастает на (−∞; −1] и на [1; +∞), убывает на [−1; 1].

5. Проверка: f(−1) = −1 + 3 = 2, f(0) = 0, f(1) = 1 − 3 = −2 — на [−1; 1] значения падают: 2 → 0 → −2. ✅

5. Как записывать концы промежутков 📌

Если функция непрерывна в точке, где f’ = 0, эту точку можно включать в промежуток монотонности — поэтому в ответах выше стоят квадратные скобки. Но объединять промежутки нельзя: в примере 2 функция возрастает на (−∞; −1] и на [1; +∞) по отдельности, а на их объединении — нет: f(−1) = 2 больше, чем f(1) = −2.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Определяют монотонность по знаку самой функции → ✅ решает знак производной: функция может быть отрицательной и при этом возрастать.

• ❌ Соединяют промежутки возрастания знаком объединения в один ответ «функция возрастает на (−∞; −1] ∪ [1; +∞)» → ✅ перечисляй промежутки отдельно, через «и».

• ❌ Полагаются на «знаки всегда чередуются» → ✅ при кратных корнях производной знак может не смениться — проверяй пробной точкой каждый интервал.

• ❌ Забывают точки, где производная не существует → ✅ они тоже разбивают прямую на интервалы.

Мини-конспект 📋

• f’ > 0 — функция возрастает; f’ < 0 — убывает.

• Алгоритм: производная → её нули → знаки на интервалах → вывод.

• Знак на интервале проверяем пробной точкой.

• Точки с f’ = 0 включаем в промежутки, если функция там непрерывна.

• Промежутки одного типа не объединяем, а перечисляем.

• Контроль: сравни значения функции в нескольких точках промежутка.

Зачем это нужно? 🚀

• Аналитики так читают графики цен и продаж: где рост, где спад и когда наступил перелом 📊

• В физике знак производной пути отвечает на вопрос, разгоняется тело или тормозит 🚗

• На ЕГЭ задачи «по графику производной найдите промежутки возрастания» решаются именно этим правилом 🎯