Сочетания и их свойства
Тема урока: Сочетания и их свойства 📚
Цели урока 🎯
Понять, что такое сочетания и чем они отличаются от размещений 🧠
Освоить формулу числа сочетаний 🔢
Научиться применять свойства сочетаний для быстрого счёта ⚡
Основная часть урока 📝
1. Что такое сочетание? 🤔
Сочетание — это выбор k объектов из n различных без учёта порядка. Пара дежурных «Аня и Борис» и пара «Борис и Аня» — один и тот же выбор, потому что состав группы одинаковый.
✨ Важно: в размещениях порядок важен, в сочетаниях — нет. Это главный вопрос, который решает, какую формулу брать.
2. Формула числа сочетаний 🔍
Число сочетаний из n по k: Cnk = n!/(k! · (n − k)!).
Откуда она берётся: размещений Ank ровно в k! раз больше, чем сочетаний, потому что каждую группу из k объектов можно упорядочить k! способами. Поэтому Cnk = Ank/k!.
3. Пример 1: выбираем дежурных 🛠
Из 6 учеников нужно выбрать 2 дежурных. Сколько есть способов?
Тип задачи: дежурные равноправны, порядок не важен — сочетания.
Формула: C62 = 6!/(2! · 4!) = (6 · 5)/(1 · 2) = 30/2 = 15.
Ответ: 15 способов.
Проверка: размещений A62 = 6 · 5 = 30; каждая пара посчитана дважды, 30/2 = 15 ✓.
4. Пример 2: три книги из десяти 📖
Сколькими способами можно взять в поездку 3 книги из 10? Порядок не важен — сочетания.
C103 = (10 · 9 · 8)/(1 · 2 · 3) = 720/6 = 120.
Ответ: 120 способов.
Проверка: числитель — это A103 = 720, делим на 3! = 6, получаем 120 ✓.
5. Свойства сочетаний ⚡
Cn0 = Cnn = 1 — «выбрать ничего» и «выбрать всё» можно одним способом.
Симметрия: Cnk = Cnn−k — выбрать k объектов то же самое, что оставить n − k.
Правило Паскаля: Cnk + Cnk+1 = Cn+1k+1 — на нём построен треугольник Паскаля.
Сумма всех Cnk при данном n равна 2n — столько всего подмножеств у n объектов.
6. Пример 3: считаем хитро 🧮
Вычислим C2018. В лоб считать 18 множителей тяжело.
Симметрия: C2018 = C2020−18 = C202.
C202 = (20 · 19)/2 = 380/2 = 190.
Ответ: 190.
Проверка: выбрать 18 из 20 — то же, что исключить 2 из 20, а пар из 20 объектов ровно 190 ✓.
Типичные ошибки ⚠️
❌ Учитывают порядок там, где он не важен, и получают завышенный ответ → ✅ если группы отличаются только порядком, это одно и то же сочетание.
❌ Забывают разделить на k! → ✅ помни: C = A/k!, деление обязательно.
❌ Считают C2018 «в лоб» через огромные факториалы → ✅ сначала применяй симметрию Cnk = Cnn−k.
❌ Думают, что Cn0 = 0 → ✅ пустой выбор существует, и он один: Cn0 = 1.
Тема не даётся? Разберём вместе 🎓
Сочетания легко перепутать с размещениями, пока не прорешаешь десяток задач с учителем. В онлайн-школе «Моя школа LS» — живые уроки в малых группах с 1 по 11 класс: разберём именно то, что не получается.
Мини-конспект 📋
Сочетание — выбор k объектов из n без учёта порядка.
Формула: Cnk = n!/(k! · (n − k)!).
Удобная связь: Cnk = Ank/k!.
Симметрия: Cnk = Cnn−k.
Крайние случаи: Cn0 = Cnn = 1.
Правило Паскаля: Cnk + Cnk+1 = Cn+1k+1.
Сумма всех Cnk равна 2n.
Зачем это нужно? 🚀
Шанс выигрыша в лотерее считается именно через сочетания 🎰
Сколько разных пятёрок игроков тренер может выпустить на площадку 🏀
Сочетания — фундамент бинома Ньютона и теории вероятностей 📈
Сочетание — это способ выбрать k объектов из n различных, когда порядок выбора не имеет значения. Важен только состав группы, а не то, кого выбрали первым.
По формуле: C = 5!/(2! · 3!).
Сокращаем: (5 · 4)/(1 · 2) = 20/2 = 10.
Ответ: 10 способов выбрать пару объектов из пяти.
Задай вопрос: изменится ли вариант, если выбранные объекты поменять местами? Если да (разные должности, разные места) — это размещения. Если нет (просто группа, набор, команда равноправных) — сочетания.
Оцените урок:
