Десятичные и натуральные логарифмы. Формула перехода

Тема урока: Десятичные и натуральные логарифмы. Формула перехода 📚

Цели урока 🎯

• Понять, что такое десятичный (lg) и натуральный (ln) логарифмы 🧠

• Освоить формулу перехода к новому основанию 🔁

• Научиться вычислять «неудобные» логарифмы через lg и ln 🧮

Основная часть урока 📝

1. Десятичный логарифм 🤔

Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10, для него есть короткая запись: lg x = log₁₀ x. Вопрос тот же, что у любого логарифма: в какую степень возвести 10, чтобы получить x?

• lg 100 = 2, потому что 10² = 100

• lg 0,001 = −3, потому что 10⁻³ = 0,001

• lg 1 = 0, потому что 10⁰ = 1
  ✨ Важно: кнопка log на большинстве калькуляторов считает именно десятичный логарифм.

2. Натуральный логарифм и число e 🌿

Натуральный логарифм — логарифм по основанию e: ln x = log_e x. Число e ≈ 2,718 — иррациональное, как π: его десятичная запись бесконечна и непериодична.

• ln e = 1 и ln 1 = 0 — прямо по определению

• ln e³ = 3 — логарифм степени

• Число e появляется в задачах о непрерывном росте — от банковских процентов до размножения бактерий 🌱

3. Формула перехода к новому основанию 🔁

Что делать с log₂ 5, если на калькуляторе есть только lg и ln? Перейти к удобному основанию:

log_a b = log_c b / log_c a, где a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1.

• Через десятичные: log_a b = lg b / lg a

• Через натуральные: log_a b = ln b / ln a

• Следствие при c = b: log_a b = 1 / log_b a
  ✨ Важно: в числителе — то, что стоит под логарифмом, в знаменателе — старое основание.

4. Разбираем примеры 🛠

Пример 1. Вычислить log₈ 16.

1. 8 и 16 — степени двойки, поэтому переходим к основанию 2: log₈ 16 = log₂ 16 / log₂ 8.

2. log₂ 16 = 4 (2⁴ = 16), log₂ 8 = 3 (2³ = 8).

3. Ответ: log₈ 16 = 4/3.

4. Проверка: 8^4/3 = (2³)^4/3 = 2⁴ = 16 — верно ✅

Пример 2. Найти log₂ 5 на калькуляторе.

1. Кнопки для основания 2 нет — переходим к десятичным: log₂ 5 = lg 5 / lg 2.

2. lg 5 ≈ 0,699, lg 2 ≈ 0,301.

3. log₂ 5 ≈ 0,699 / 0,301 ≈ 2,32.

4. Проверка прикидкой: 2² = 4, 2³ = 8; число 5 лежит между ними, значит ответ между 2 и 3 — сходится ✅

Пример 3. Вычислить lg 40 + lg 25 без калькулятора.

1. Сумма логарифмов — логарифм произведения: lg 40 + lg 25 = lg(40 · 25).

2. 40 · 25 = 1000.

3. lg 1000 = 3, потому что 10³ = 1000. Ответ: 3 ✅

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Путают lg и ln → ✅ lg — основание 10, ln — основание e ≈ 2,718.

• ❌ Переворачивают формулу перехода: пишут log_a b = lg a / lg b → ✅ в числителе всегда то, что под логарифмом: log_a b = lg b / lg a.

• ❌ Раскладывают логарифм суммы: lg(a + b) = lg a + lg b → ✅ так нельзя; в логарифм произведения превращается сумма логарифмов: lg a + lg b = lg(ab).

• ❌ Берут логарифм нуля или отрицательного числа → ✅ логарифм определён только для положительных чисел.

Мини-конспект 📋

• lg x — логарифм по основанию 10, ln x — по основанию e ≈ 2,718.

• lg 10 = 1, lg 100 = 2, lg 1000 = 3; ln e = 1, ln 1 = 0.

• Формула перехода: log_a b = log_c b / log_c a.

• Для калькулятора: log_a b = lg b / lg a = ln b / ln a.

• Следствие: log_a b = 1 / log_b a.

• Логарифм существует только для положительных чисел; основание положительно и не равно 1.

Зачем это нужно? 🚀

• Громкость звука в децибелах и кислотность растворов pH считают через десятичный логарифм 🔊

• Радиоактивный распад, рост населения и сложные проценты описываются через e и ln 📈

• Шкала магнитуд землетрясений — тоже логарифмическая 🌍