Логарифмическая функция, её свойства и график

Тема урока: Логарифмическая функция, её свойства и график 📚

Цели урока 🎯

• Понять, что такое логарифмическая функция и как она связана с показательной 🧠

• Разобрать её область определения, множество значений и монотонность 📐

• Научиться сравнивать логарифмы и строить график по точкам 📈

Основная часть урока 📝

1. Что такое логарифмическая функция? 🤔

Логарифмическая функция — это функция вида y = log_a x, где a > 0 и a ≠ 1. Она обратна показательной функции y = a^x: их графики симметричны относительно прямой y = x. Если показательная функция по показателю степени выдаёт число, то логарифмическая — наоборот: по числу находит показатель.

2. Главные свойства 📐

• Область определения D(y) = (0; +∞): логарифм берут только от положительных чисел.

• Множество значений E(y) = (−∞; +∞): функция принимает любые значения.

• График всегда проходит через точку (1; 0), потому что log_a 1 = 0, и через точку (a; 1), потому что log_a a = 1.

• Ось Oy — вертикальная асимптота: график прижимается к ней, но не пересекает.

3. Возрастание и убывание 📈

Поведение функции полностью решает основание:

• a > 1 — функция возрастает: чем больше x, тем больше y 📈

• 0 < a < 1 — функция убывает: чем больше x, тем меньше y 📉
  ✨ Важно: именно монотонность — ключ к сравнению логарифмов и к решению неравенств в следующих уроках.

4. Пример 1: находим область определения 🛠

Найти область определения функций y = log₂(x − 3) и y = log₅(6 − 2x).

1. Аргумент логарифма должен быть положительным: x − 3 > 0, откуда x > 3. Ответ: D = (3; +∞).

2. Для второй функции: 6 − 2x > 0, то есть 2x < 6, x < 3. Ответ: D = (−∞; 3).

3. Проверка: x = 4 в первой функции даёт аргумент 4 − 3 = 1 > 0 — логарифм существует ✅

5. Пример 2: сравниваем логарифмы 🔍

1. log₃ 5 и log₃ 7: основание 3 > 1, функция возрастает, а 5 < 7. Значит log₃ 5 < log₃ 7.

2. log_1/2 3 и log_1/2 5: основание 1/2 < 1, функция убывает, поэтому знак меняется: log_1/2 3 > log_1/2 5.

3. log₂ 10 и число 3: представим 3 = log₂ 8. Так как 10 > 8 и функция возрастает, log₂ 10 > 3. Проверка: 2³ = 8 < 10 — верно ✅

6. Пример 3: строим график y = log₂ x по точкам 📊

1. Берём удобные x — степени двойки: 1/2, 1, 2, 4, 8.

2. Считаем y: log₂(1/2) = −1; log₂ 1 = 0; log₂ 2 = 1; log₂ 4 = 2; log₂ 8 = 3.

3. Точки (1/2; −1), (1; 0), (2; 1), (4; 2), (8; 3) соединяем плавной кривой: слева она уходит вниз вдоль оси Oy, справа медленно растёт.

4. Проверка: log₂ 4 = 2, потому что 2² = 4 — точка посчитана верно ✅

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Ищут значение функции при x ≤ 0 → ✅ область определения — только x > 0.

• ❌ Сравнивают логарифмы с основанием меньше 1 так, будто функция возрастает → ✅ при 0 < a < 1 функция убывает и знак сравнения переворачивается.

• ❌ Рисуют график, пересекающий ось Oy → ✅ ось Oy — асимптота, пересечения нет.

• ❌ Путают опорные точки (1; 0) и (0; 1) → ✅ логарифмический график проходит через (1; 0): логарифм единицы равен нулю.

Мини-конспект 📋

• y = log_a x определена при a > 0, a ≠ 1.

• D(y) = (0; +∞), E(y) = (−∞; +∞).

• График проходит через (1; 0) и (a; 1), ось Oy — асимптота.

• a > 1 — возрастает, 0 < a < 1 — убывает.

• Логарифмическая и показательная функции взаимно обратны, графики симметричны относительно y = x.

• Область определения ищем из неравенства «аргумент > 0».

Зачем это нужно? 🚀

• Логарифмические шкалы сжимают огромные диапазоны: громкость звука, магнитуды землетрясений 🔊

• Время удвоения вклада или населения находят по логарифмической функции 💰

• В информатике log₂ n показывает, за сколько шагов двоичный поиск найдёт элемент 💻