Синус, косинус, тангенс и котангенс угла

Тема урока: Синус, косинус, тангенс и котангенс угла 📚

Цели урока 🎯

• Понять определения через единичную окружность 🧠

• Запомнить табличные значения основных углов 🔢

• Научиться вычислять выражения с тригонометрическими функциями 📈

Основная часть урока 📝

1. Единичная окружность 🤔

Единичная окружность — окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Возьмём точку P(1; 0) и повернём её вокруг центра на угол α (против часовой стрелки — положительный угол, по часовой — отрицательный). Точка попадёт в новое положение с координатами (x; y) — именно эти координаты и задают тригонометрические функции угла.

2. Определения 🔍

• Синус угла α — ордината точки: sin α = y.

• Косинус угла α — абсцисса точки: cos α = x.

• Тангенс — отношение синуса к косинусу: tg α = sin α/cos α (существует при cos α ≠ 0).

• Котангенс — отношение косинуса к синусу: ctg α = cos α/sin α (существует при sin α ≠ 0).
  ✨ Важно: точка не выходит за пределы окружности, поэтому −1 ≤ sin α ≤ 1 и −1 ≤ cos α ≤ 1. А вот тангенс и котангенс могут быть любыми числами.

3. Табличные значения 🛠

• 0° (0): sin = 0, cos = 1, tg = 0.

• 30° (π/6): sin = 1/2, cos = √3/2, tg = √3/3.

• 45° (π/4): sin = √2/2, cos = √2/2, tg = 1.

• 60° (π/3): sin = √3/2, cos = 1/2, tg = √3.

• 90° (π/2): sin = 1, cos = 0, tg не существует.
  ✨ Подсказка для памяти: от 0° к 90° синус растёт (0 → 1), косинус убывает (1 → 0).

4. Пример 1. Вычисляем выражение 🔄

Найдём значение выражения 4 sin 30° + 2 cos 60° − tg 45°.

1. Подставляем табличные значения: sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2, tg 45° = 1.

2. Считаем: 4·(1/2) + 2·(1/2) − 1 = 2 + 1 − 1 = 2.

3. Проверка: каждое значение сверяем с таблицей, арифметика: 2 + 1 = 3, 3 − 1 = 2 ✅. Ответ: 2.

5. Пример 2. Угол π на окружности ✅

Найдём все четыре функции угла π (это 180°).

1. Поворот точки P(1; 0) на 180° приводит её в точку (−1; 0).

2. Значит, sin π = 0 (ордината), cos π = −1 (абсцисса).

3. tg π = 0/(−1) = 0, а ctg π не существует: пришлось бы делить на sin π = 0.

4. Проверка: точка (−1; 0) лежит на окружности: (−1)² + 0² = 1 ✅.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Путать, какая координата синус, а какая косинус → ✅ косинус — горизонтальная координата x, синус — вертикальная y.

• ❌ Писать tg 90° = 0 → ✅ tg 90° не существует, потому что cos 90° = 0, а на ноль делить нельзя.

• ❌ Получать sin α = 1,5 и не замечать ошибку → ✅ синус и косинус всегда в пределах от −1 до 1.

• ❌ Путать значения для 30° и 60° → ✅ проверяй по росту синуса: sin 30° = 1/2 меньше, чем sin 60° = √3/2 ≈ 0,87.

Мини-конспект 📋

• Единичная окружность: радиус 1, центр в начале координат.

• sin α = y, cos α = x — координаты точки после поворота на α.

• tg α = sin α/cos α (cos α ≠ 0), ctg α = cos α/sin α (sin α ≠ 0).

• −1 ≤ sin α ≤ 1, −1 ≤ cos α ≤ 1.

• Таблица: 30° → 1/2 и √3/2; 45° → √2/2 и √2/2; 60° → √3/2 и 1/2.

• От 0° к 90° синус растёт, косинус убывает.

Зачем это нужно? 🚀

• Синусоида описывает звук, переменный ток и колебания — от музыки до электростанций 🎵

• Навигация и GPS вычисляют положение через углы и их функции 🛰

• В строительстве наклон крыши и длину ската считают через синус и косинус 🏠