Знаки синуса, косинуса и тангенса

Тема урока: Знаки синуса, косинуса и тангенса 📚

Цели урока 🎯

• Вспомнить четверти единичной окружности 🧠

• Понять, откуда берутся знаки функций в каждой четверти 🔍

• Научиться определять знак функции любого угла 📈

Основная часть урока 📝

1. Четыре четверти окружности 🤔

Оси координат делят единичную окружность на четыре четверти:

• I четверть: от 0° до 90° (от 0 до π/2).

• II четверть: от 90° до 180° (от π/2 до π).

• III четверть: от 180° до 270° (от π до 3π/2).

• IV четверть: от 270° до 360° (от 3π/2 до 2π).

2. Знаки синуса и косинуса 🔍

Здесь не нужно ничего зубрить — только помнить определения. Синус — это координата y: он положителен, когда точка выше оси Ox, то есть в I и II четвертях, и отрицателен в III и IV. Косинус — координата x: он положителен правее оси Oy, то есть в I и IV четвертях, и отрицателен во II и III.
✨ Важно: знак функции определяется только тем, в какую четверть попала точка.

3. Знаки тангенса и котангенса 🛠

Тангенс — дробь sin α/cos α, поэтому его знак — знак частного:

• I четверть: (+)/(+) = «+»; III четверть: (−)/(−) = «+».

• II четверть: (+)/(−) = «−»; IV четверть: (−)/(+) = «−».

• У котангенса знаки такие же, как у тангенса: это та же пара sin и cos, только перевёрнутая дробь.

4. Пример 1. Угол в градусах 🔄

Определим знаки sin 200°, cos 200° и tg 200°.

1. Находим четверть: 180° < 200° < 270° — это III четверть.

2. В III четверти точка ниже оси Ox и левее оси Oy: sin 200° < 0 и cos 200° < 0.

3. Тангенс: (−)/(−) — положительный, tg 200° > 0.

4. Проверка: 200° = 180° + 20°, точка чуть «за» отметкой 180°, в нижней левой части окружности — обе координаты отрицательны ✅.

5. Пример 2. Угол в радианах и знак произведения ✅

Определим знак sin 2, cos 2 и tg 2 (угол задан в радианах).

1. Сравниваем с границами четвертей: π/2 ≈ 1,57 и π ≈ 3,14. Так как 1,57 < 2 < 3,14, угол 2 радиана лежит во II четверти.

2. Значит, sin 2 > 0, cos 2 < 0, tg 2 < 0.

Ещё пример: определим знак произведения sin 100°·cos 300°. Угол 100° — во II четверти, синус там положителен. Угол 300° — в IV четверти, косинус там положителен. Произведение двух положительных чисел положительно ✅.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Определять четверть радианного угла «на глаз» в градусной логике → ✅ сравни число с π/2 ≈ 1,57; π ≈ 3,14; 3π/2 ≈ 4,71.

• ❌ Думать, что тангенс отрицателен там же, где синус → ✅ у тангенса свой узор знаков: «+» в I и III, «−» во II и IV.

• ❌ Путать границы четвертей → ✅ границы: 90°, 180°, 270°, 360°; на самих осях одна из функций равна нулю.

• ❌ Забывать про углы больше 360° → ✅ сначала отбрось полные обороты: 750° = 720° + 30°, знаки как у 30°.

Мини-конспект 📋

• Синус = y: «+» в I и II четвертях, «−» в III и IV.

• Косинус = x: «+» в I и IV четвертях, «−» во II и III.

• Тангенс и котангенс: «+» в I и III, «−» во II и IV.

• Четверть радианного угла ищи сравнением с 1,57; 3,14; 4,71.

• Углы больше 360° (2π): сначала отбрось полные обороты.

• В I четверти все функции положительны.

Зачем это нужно? 🚀

• Без знаков не решить тригонометрические уравнения: из двух кандидатов в ответ верный выбирают по четверти 🎯

• В физике знак синуса и косинуса показывает направление колебания или проекции силы 🧲

• Проверка знака — быстрый способ поймать ошибку в длинном вычислении ✅