Формулы двойного угла
Тема урока: Формулы двойного угла 📚
Цели урока 🎯
Вывести формулы двойного угла из формул сложения 🧠
Запомнить три записи косинуса двойного угла 🔁
Научиться применять формулы в вычислениях 📈
Основная часть урока 📝
1. Откуда берутся формулы? 🤔
Двойной угол — это сумма α + α. Подставим β = α в формулы сложения:
sin 2α = sin α·cos α + cos α·sin α = 2 sin α·cos α.
cos 2α = cos α·cos α − sin α·sin α = cos²α − sin²α.
tg 2α = 2 tg α/(1 − tg²α) — работает, когда tg α существует и tg²α ≠ 1.
2. Три записи cos 2α 🔍
Заменим в cos 2α = cos²α − sin²α одну из функций через тождество sin²α + cos²α = 1:
cos 2α = 2cos²α − 1 (заменили sin²α).
cos 2α = 1 − 2sin²α (заменили cos²α).
✨ Важно: выбирай ту запись, где известна нужная функция — это экономит шаги.
3. Пример 1. Считаем sin 2α и cos 2α 🛠
Дано: sin α = 0,6 и cos α = 0,8. Найдём sin 2α и cos 2α.
sin 2α = 2·0,6·0,8 = 0,96.
cos 2α = 0,8² − 0,6² = 0,64 − 0,36 = 0,28.
Проверка основным тождеством для угла 2α: 0,96² + 0,28² = 0,9216 + 0,0784 = 1 ✅.
4. Пример 2. Читаем формулы «справа налево» 🔄
Часто выражение уже «свёрнуто» — нужно лишь узнать формулу.
cos²15° − sin²15° — это правая часть формулы косинуса двойного угла, значит равно cos 30° = √3/2.
2 sin 75°·cos 75° — правая часть формулы синуса: равно sin 150°. По формуле приведения sin 150° = sin 30° = 1/2.
Проверка первого: cos 30° ≈ 0,87; и правда, cos 15° ≈ 0,97, sin 15° ≈ 0,26, тогда 0,97² − 0,26² ≈ 0,94 − 0,07 = 0,87 ✅.
5. Пример 3. Тангенс двойного угла ✅
Дано: tg α = 3. Найдём tg 2α.
Подставляем в формулу: tg 2α = 2·3/(1 − 3²) = 6/(1 − 9) = 6/(−8).
Сокращаем: tg 2α = −3/4 = −0,75.
Проверка через синус и косинус: для угла с tg α = 3 берём sin α = 3/√10, cos α = 1/√10. Тогда sin 2α = 2·(3/√10)·(1/√10) = 6/10 = 0,6; cos 2α = 1/10 − 9/10 = −0,8; tg 2α = 0,6/(−0,8) = −0,75 — совпало ✅.
Типичные ошибки ⚠️
❌ Писать sin 2α = 2 sin α → ✅ двойка стоит перед произведением: 2 sin α·cos α.
❌ Считать cos 2α = 2 cos α или sin²α − cos²α → ✅ верный порядок: cos 2α = cos²α − sin²α.
❌ Применять формулу тангенса при α = 45° → ✅ там tg²α = 1, знаменатель нулевой: tg 90° не существует.
❌ Путать три записи cos 2α между собой → ✅ выведи нужную из тождества, это одна строка.
Нужен прочный фундамент по предмету? 🎓
Формулы двойного угла всплывают до 11 класса включительно — в уравнениях, производных и задачах ЕГЭ. В онлайн-школе «Моя школа LS» (с 1 по 11 класс) учитель на живых уроках в малой группе закладывает эту базу так, чтобы формулы выводились, а не забывались.
Мини-конспект 📋
sin 2α = 2 sin α·cos α.
cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α.
tg 2α = 2 tg α/(1 − tg²α), tg²α ≠ 1.
Формулы выводятся из формул сложения при β = α.
Читай формулы и слева направо, и справа налево — «сворачивай» выражения.
Проверка ответа: тождество sin²2α + cos²2α = 1.
Зачем это нужно? 🚀
Дальность полёта тела, брошенного под углом, содержит sin 2α — поэтому оптимальный угол 45° 🏹
Тригонометрические уравнения ЕГЭ часто решаются именно сворачиванием в двойной угол 🎯
В электротехнике формулы двойного угла описывают мощность переменного тока ⚡
Три основные: sin 2α = 2 sin α·cos α; cos 2α = cos²α − sin²α (у него ещё две записи: 2cos²α − 1 и 1 − 2sin²α); tg 2α = 2 tg α/(1 − tg²α).
- Берём запись через косинус: cos 2α = 2cos²α − 1.
- Подставляем: 2·0,36 − 1 = 0,72 − 1 = −0,28.
- Проверка другой записью: sin²α = 1 − 0,36 = 0,64, тогда 1 − 2·0,64 = −0,28 — совпало.
Ту, где стоит известная тебе функция: дан синус — бери 1 − 2sin²α, дан косинус — 2cos²α − 1, известны обе — классическую cos²α − sin²α. Ответ получится одинаковый, но лишних шагов не будет.
Оцените урок:
