Уравнение cos x = a

Тема урока: Уравнение cos x = a 📚

Цели урока 🎯

• Выяснить, при каких a уравнение cos x = a имеет корни 🧠

• Понять, что такое arccos a, и выучить формулу корней 🔢

• Прорешать типовые уравнения и научиться проверять ответ ✏️

Основная часть урока 📝

1. Когда у уравнения есть корни? 🤔

Косинус — это абсцисса точки на единичной окружности, поэтому его значения всегда лежат в промежутке от −1 до 1. Отсюда главное правило: уравнение cos x = a имеет корни только при −1 ≤ a ≤ 1.

• cos x = 0,3 — корни есть: число 0,3 попадает в [−1; 1]

• cos x = 3 — корней нет: косинус не бывает больше 1 ❌
  ✨ Важно: прежде чем решать, сравни правую часть с единицей по модулю.

2. Что такое arccos a? 🔍

Арккосинус числа a (пишут arccos a) — это угол из промежутка [0; π], косинус которого равен a. Из всех углов с одинаковым косинусом это «главный» угол.

• arccos (1/2) = π/3, потому что cos (π/3) = 1/2 и π/3 лежит в [0; π]

• arccos 1 = 0, arccos 0 = π/2, arccos (−1) = π

• Для отрицательных чисел: arccos (−a) = π − arccos a

3. Формула корней 🛠

Косинусы углов x и −x равны, поэтому у уравнения две зеркальные серии корней. Их записывают одной формулой:

x = ±arccos a + 2πn, n ∈ ℤ (n — любое целое число).

Слагаемое 2πn отвечает за периодичность: через каждый полный оборот 2π косинус повторяет свои значения.

4. Частные случаи 📌

• cos x = 1 → x = 2πn

• cos x = −1 → x = π + 2πn

• cos x = 0 → x = π/2 + πn
  ✨ Важно: эти три ответа короче общей формулы — их запоминают отдельно.

5. Прорешанные примеры ✏️

Пример 1. Реши уравнение cos x = 1/2.

1. Проверяем: 1/2 лежит в [−1; 1] — корни есть.

2. Находим arccos (1/2) = π/3.

3. Ответ: x = ±π/3 + 2πn, n ∈ ℤ.

4. Проверка: cos (π/3) = 1/2 и cos (−π/3) = cos (π/3) = 1/2 — верно ✅

Пример 2. Реши уравнение cos x = −√2/2.

1. −√2/2 ≈ −0,71 — попадает в [−1; 1], решаем.

2. arccos (−√2/2) = π − arccos (√2/2) = π − π/4 = 3π/4.

3. Ответ: x = ±3π/4 + 2πn, n ∈ ℤ.

4. Проверка: cos (3π/4) = −√2/2 — верно ✅

Пример 3. Реши уравнение cos 2x = 1.

1. Это частный случай: cos t = 1 при t = 2πn.

2. Здесь t = 2x, значит 2x = 2πn.

3. Делим обе части на 2: x = πn, n ∈ ℤ.

4. Проверка: cos (2πn) = 1 — верно ✅

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Решают cos x = 1,2 «по формуле» → ✅ при |a| > 1 корней нет, ответ так и записывается: «корней нет»

• ❌ Пишут arccos (−1/2) = −π/3 → ✅ арккосинус не бывает отрицательным: arccos (−1/2) = π − π/3 = 2π/3

• ❌ Теряют ± и оставляют одну серию x = arccos a + 2πn → ✅ у косинуса две зеркальные серии: x = ±arccos a + 2πn

• ❌ Забывают слагаемое 2πn → ✅ без него теряется бесконечно много корней

Мини-конспект 📋

• Корни есть только при −1 ≤ a ≤ 1

• arccos a — угол из [0; π], косинус которого равен a

• arccos (−a) = π − arccos a

• Общая формула: x = ±arccos a + 2πn, n ∈ ℤ

• Частные случаи: cos x = 1 → x = 2πn; cos x = −1 → x = π + 2πn; cos x = 0 → x = π/2 + πn

• Ответ проверяй подстановкой

Зачем это нужно? 🚀

• Колебания маятника и пружины описываются косинусом: решая cos x = a, находят моменты, когда груз занимает нужное положение 🕰

• Переменный ток в розетке — тоже косинус: инженер вычисляет, когда напряжение достигнет заданного уровня ⚡

• Это первый шаг к тригонометрическим уравнениям из профильного ЕГЭ 🎯