Уравнение tg x = a

Тема урока: Уравнение tg x = a 📚

Цели урока 🎯

• Понять, почему tg x = a разрешимо при любом a 🧠

• Освоить арктангенс и формулу x = arctg a + πn 🔢

• Прорешать уравнения с табличными значениями ✏️

Основная часть урока 📝

1. Чем тангенс отличается от синуса и косинуса? 🤔

Тангенс — это отношение: tg x = sin x / cos x. Он не существует там, где cos x = 0, то есть при x = π/2 + πk. Зато значения тангенса ничем не ограничены: он пробегает всю числовую прямую.

• Поэтому уравнение tg x = a имеет корни при любом числе a — хоть при a = 100

• Период тангенса равен π, а не 2π: значения повторяются уже через пол-оборота
  ✨ Важно: проверка |a| ≤ 1 нужна для sin и cos, но не для тангенса.

2. Что такое arctg a? 🔍

Арктангенс числа a (пишут arctg a) — это угол из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен a.

• Табличные значения: arctg (√3/3) = π/6, arctg 1 = π/4, arctg √3 = π/3, arctg 0 = 0

• Арктангенс нечётен: arctg (−a) = −arctg a, например arctg (−1) = −π/4

• Определён при любом a — в отличие от arcsin и arccos

3. Формула корней 🛠

Так как период тангенса равен π, все корни получаются из одного сдвигами на πn:

x = arctg a + πn, n ∈ ℤ (n — любое целое число).

Обрати внимание: серия одна, никаких ± и (−1)ⁿ. Это самая простая из трёх формул корней.

4. Прорешанные примеры ✏️

Пример 1. Реши уравнение tg x = 1.

1. Корни есть при любом a — сразу ищем арктангенс.

2. arctg 1 = π/4.

3. Ответ: x = π/4 + πn, n ∈ ℤ.

4. Проверка: tg (π/4) = sin (π/4)/cos (π/4) = (√2/2)/(√2/2) = 1 — верно ✅

Пример 2. Реши уравнение tg x = −√3.

1. arctg (−√3) = −arctg √3 = −π/3.

2. Ответ: x = −π/3 + πn, n ∈ ℤ.

3. Проверка: tg (−π/3) = sin (−π/3)/cos (−π/3) = (−√3/2)/(1/2) = −√3 — верно ✅

Пример 3. Реши уравнение tg 2x = √3/3.

1. Обозначим t = 2x: уравнение tg t = √3/3.

2. arctg (√3/3) = π/6, значит t = π/6 + πn, то есть 2x = π/6 + πn.

3. Делим на 2: x = π/12 + πn/2, n ∈ ℤ.

4. Проверка: при n = 0 x = π/12, tg (2·π/12) = tg (π/6) = √3/3 — верно ✅

5. Не забывай про область определения ✅

Корни формулы x = arctg a + πn никогда не совпадают с запрещёнными точками x = π/2 + πk, ведь арктангенс лежит строго внутри (−π/2; π/2). Но если ты сам преобразовывал уравнение и тангенс появился в процессе, ОДЗ нужно проверить отдельно.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Пишут x = arctg a + 2πn → ✅ период тангенса π, поэтому в ответе + πn

• ❌ Проверяют условие |a| ≤ 1, как у синуса → ✅ тангенс принимает любые значения, корни есть всегда

• ❌ Считают arctg (−√3) = π − π/3 → ✅ арктангенс нечётен: arctg (−√3) = −π/3

• ❌ Путают arctg (√3/3) и arctg √3 → ✅ запомни пару: √3/3 → π/6, √3 → π/3

Мини-конспект 📋

• tg x = sin x / cos x, не существует при x = π/2 + πk

• Уравнение tg x = a имеет корни при любом a

• arctg a — угол из (−π/2; π/2) с тангенсом a

• arctg (−a) = −arctg a

• Формула корней: x = arctg a + πn, n ∈ ℤ — одна серия

• Табличные значения: √3/3 → π/6, 1 → π/4, √3 → π/3

Зачем это нужно? 🚀

• Тангенс — это наклон: уравнение tg x = a отвечает, под каким углом идёт вверх дорога, пандус или лестница 🛤

• В физике через тангенс угла наклона графика находят скорость и ускорение 📐

• Уравнения с тангенсом регулярно встречаются в профильном ЕГЭ 🎯