На этом уроке мы изучим, как сравнивать, складывать и вычитать дроби с различными знаменателями. Поскольку вы уже освоили операции с дробями, имеющими одинаковые знаменатели, следующим шагом будет научиться приводить дроби к общему знаменателю, чтобы упростить процесс.

Если у вас возникнут трудности с пониманием материала, рекомендуем ознакомиться с уроком «Часть 2. Дроби. Рациональные числа».

Повторение

Вспомним, что мы уже знаем об обыкновенных дробях.

1. Любая дробь обозначает количество, часть от какого-то числа. Эту часть мы умеем находить. Например, 3/5 от 100 это 60: .

2. Одно и то же количество, одну и ту же часть можно выразить разными дробями. Такие дроби называются эквивалентными (Рис. 1).

Рис. 1. Пример эквивалентных дробей

3. При сложении/вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываем/вычитаем числители.

4. При сравнении двух дробей с одинаковыми знаменателями большей является та, у которой числитель больше (Рис. 2).

Рис. 2. Пример сравнения дробей с одинаковым знаменателем

Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь перейдем к вопросу о том, что делать, если у дробей будут разные знаменатели. Например, как нам сложить  и  (Рис. 3)?

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь перейдем к вопросу о том, что делать, если у дробей будут разные знаменатели. Например, как нам сложить 1/3 и 2/5 (Рис. 3)?

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Если мы заменим одну из дробей на эквивалентную (равную ей), то сумма, очевидно, не изменится.

Для дроби 1/3 существует бесконечное множество дробей, которые ей эквивалентны. Чтобы их получить, нужно одновременно умножать и числитель, и знаменатель на одно и то же число (2, 3, 4 и т.д.). Тем самым мы получим цепочку эквивалентных дробей:

Аналогично поступим и со второй дробью:

Мы можем заменить исходные дроби эквивалентными. Но выбирать нужно так, чтобы новые дроби имели одинаковые знаменатели, ведь мы уже умеем их складывать. Одинаковый знаменатель у дробей 5/15 и 6/15, заменим исходные дроби на них:

То есть идея оказался очень простой. Если нам нужно сложить две дроби, то смотрим на их знаменатели.

1) Если знаменатели одинаковые, то складываем сразу.

2) Если знаменатели разные, то заменяем исходные дроби эквивалентными, чтобы новые дроби имели одинаковые знаменатели. И складываем эти новые дроби.

Алгоритм сложения дробей

1. Если знаменатели одинаковые, складываем дроби сразу.
2. Если знаменатели разные, заменяем дроби эквивалентными, чтобы у новых дробей были одинаковые знаменатели, и затем складываем.

Действия над дробями с разными знаменателями. Примеры

Выполните вычисление:

Решение:

1) Несложно заметить, что дробь 1/2 легко превращается в ей эквивалентную дробь со знаменателем 4. Для этого нам нужно домножить ее числитель и знаменатель на 2:

2) Несложно увидеть, что мы вторую дробь можем превратить в дробь со знаменателем 8, для этого умножим ее числитель и знаменатель на : .

3) Обе дроби мы можем заменить эквивалентными дробями со знаменателем 6. Числитель и знаменатель первой дроби домножим на 3, а второй – на 2:

Таким образом, если знаменатели разные, то нужно заменить исходные дроби равными так, чтобы у новых дробей были одинаковые знаменатели. Такое преобразование называют приведением дробей к одному знаменателю (или к общему знаменателю).

4) Приведем дроби к общему знаменателю. Видно, что первую дробь можно привести к знаменателю 6. А у второй дроби он уже 6. Общий знаменатель 6.

5) Общим знаменателем для этих дробей является число 30. Числитель и знаменатель первой дроби домножим на 3, а второй – на 2: =.

Решение более сложных примеров

Ответим теперь сами себе на следующий вопрос: Все ли мы умеем, чтобы сложить две дроби?

Если у них одинаковые знаменатели, то да, несомненно.

Если у них разные знаменатели, то мы начнем заменять дроби равными им, чтобы у новых дробей были одинаковые знаменатели. Иными словами, будем приводить их к общему знаменателю. Всегда ли это легко сделать? Нет, не всегда.

Пример 1. Сложите две дроби: .

Решение. Очевидно, что в знаменателе будет такое число, которое получается и из 15 домножением на что-то, и из 18 домножением на что-то. Но такое число найти нетрудно.

Это 15 * 18 = 270.

Числитель и знаменатель первой дроби умножим на 18. Числитель и знаменатель второй дроби умножим на 15. Дроби, конечно, стали более громоздкими, но зато теперь у них одинаковый знаменатель: .

Теперь мы можем решить задачу и на сравнение этих дробей: .

Следовательно, первое слагаемое меньше второго: .

Пример 2. Сравните две дроби 5/8 и 9/17. После этого от большей дроби отнимите меньшую.

Решение. Чтобы сравнить две эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель найдем как произведение 8 * 17 = 136.

Чтобы в первой дроби получить знаменатель 136, умножим ее числитель и знаменатель на 17: .

Чтобы у второй дроби получить знаменатель 136, умножим ее числитель и знаменатель на 8:

Итак, мы видим, что первая дробь больше: . Значит, .

Вычтем из большей дроби меньшую: .

Заключение

На этом уроке мы научились складывать, вычитать и сравнивать дроби с разными знаменателями. Мы также узнали, как приводить дроби к общему знаменателю. В дальнейшем вы изучите понятие наименьшего общего кратного, что упростит нахождение общего знаменателя.

Рекомендуемая литература

1. Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2013.
2. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс. – М.: Мнемозина.
3. Истомина И.Б. Математика, 6 класс. – М.: Ассоциация ХХI век.

Дополнительные ресурсы

• Интернет-портал «ru.onlinemschool.com»
• Интернет-портал «cleverstudents.ru»
• Интернет-портал «calc.ru»

Домашнее задание

1. Ознакомьтесь с материалом на страницах 49-50 в учебнике Виленкина.
2. Сложите дроби:
   
3. Найдите разность:
   ​
4. Сравните дроби и вычтите меньшую из большей:
   ​