Определение и свойства геометрической прогрессии, формула n-го члена

 

Тема урока: Определение и свойства геометрической прогрессии, формула n-го члена 🌟

 

Цели урока 🎯

Сегодня мы отправимся в увлекательный мир геометрической прогрессии! 😄 Узнаем, что это такое, какие у неё свойства и как найти любой член последовательности, не перечисляя все числа. Это как раскрывать секрет чисел, которые растут или уменьшаются по особому правилу! 🚀

 

Что такое геометрическая прогрессия? 🤔

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждое следующее число получается, если предыдущее умножить на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии. Представьте, что это как снежный ком, который становится больше с каждым поворотом! ❄️

Примеры:

  • 2, 6, 18, 54… (знаменатель = 3, каждое число умножается на 3).

  • 16, 8, 4, 2… (знаменатель = 0.5, каждое число делится на 2).

Каждое число — это член прогрессии, и у него есть свой номер: 1-й член, 2-й член и так далее. 🔢

 

Свойства геометрической прогрессии 📈

Геометрическая прогрессия — это как цепочка чисел, которые растут или уменьшаются в разы! 😎 Вот её ключевые свойства:

  • Постоянный знаменатель: если разделить любое число на предыдущее, всегда получается одно и то же число. Например, в 3, 6, 12, 24… знаменатель = 2 (6 ÷ 3 = 2, 12 ÷ 6 = 2).

  • Быстрый рост или уменьшение: если знаменатель больше 1, числа растут (2, 6, 18…); если меньше 1, но больше 0, числа уменьшаются (8, 4, 2…).

  • Характеристическое свойство: если взять три последовательных члена, то квадрат среднего члена равен произведению двух соседних. Например, в 2, 4, 8: 4² = 16, а 2 × 8 = 16. ✅

Пример: в последовательности 5, 15, 45…

  • Знаменатель: 15 ÷ 5 = 3.

  • Следующий член: 45 × 3 = 135. ✨

 

Как найти любой член прогрессии? 🔍

Чтобы найти член под номером n, не нужно умножать все числа по очереди! Есть простой способ:

  • Берём первый член (a₁) и умножаем его на знаменатель (q) (n − 1) раз.

Пример: в прогрессии 2, 6, 18, 54… (a₁ = 2, q = 3):

  • 1-й член: 2.

  • 2-й член: 2 × 3 = 6.

  • 3-й член: 6 × 3 = 18.

  • 4-й член: 18 × 3 = 54.

  • 5-й член: 2 × 3 × 3 × 3 × 3 = 2 × 81 = 162.

Это как прыгнуть сразу на нужную ступеньку, зная, с чего начать и во сколько раз увеличивать! 🦘

 

Зачем это нужно? 🧠

Геометрическая прогрессия встречается в жизни:

  • Рост числа подписчиков в соцсетях, если каждый день их становится в 2 раза больше. 📱

  • Уменьшение количества лекарства в организме, если оно выводится наполовину каждый день. 💊

  • Расчёт процентов в банке, где сумма увеличивается в определённое количество раз. 💸

 

Практика на уроке 📚

Мы будем:

  • Проверять, является ли последовательность геометрической прогрессией.

  • Находить знаменатель и следующий член.

  • Вычислять член по его номеру.

Попробуем? 😄 В прогрессии 3, 9, 27, 81… найдём 5-й член:

  • Первый член = 3, знаменатель = 3.

  • 5-й член: 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3 × 81 = 243. 🎉

Ответ: Проверяем знаменатель: 12 ÷ 4 = 3, 36 ÷ 12 = 3, 108 ÷ 36 = 3. Это геометрическая прогрессия. Следующий член: 108 × 3 = 324.

Ответ: Проверяем: 2² = 4, а 4 × 1 = 4. Свойство выполнено, это геометрическая прогрессия.

Онлайн-школа С 1 по 11 класс
Почувствуйте разницу в образовании с авторскими методиками

Оцените урок:

5/5
🚀 Атлас новых профессий будущего

До 2030 года: исчезнут 67 профессий и появятся новых 186 🤖

Посмотреть в Telegram