Определение и свойства геометрической прогрессии, формула n-го члена
Тема урока: Определение и свойства геометрической прогрессии, формула n-го члена 🌟
Цели урока 🎯
Сегодня мы отправимся в увлекательный мир геометрической прогрессии! 😄 Узнаем, что это такое, какие у неё свойства и как найти любой член последовательности, не перечисляя все числа. Это как раскрывать секрет чисел, которые растут или уменьшаются по особому правилу! 🚀
Что такое геометрическая прогрессия? 🤔
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждое следующее число получается, если предыдущее умножить на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии. Представьте, что это как снежный ком, который становится больше с каждым поворотом! ❄️
Примеры:
2, 6, 18, 54… (знаменатель = 3, каждое число умножается на 3).
16, 8, 4, 2… (знаменатель = 0.5, каждое число делится на 2).
Каждое число — это член прогрессии, и у него есть свой номер: 1-й член, 2-й член и так далее. 🔢
Свойства геометрической прогрессии 📈
Геометрическая прогрессия — это как цепочка чисел, которые растут или уменьшаются в разы! 😎 Вот её ключевые свойства:
Постоянный знаменатель: если разделить любое число на предыдущее, всегда получается одно и то же число. Например, в 3, 6, 12, 24… знаменатель = 2 (6 ÷ 3 = 2, 12 ÷ 6 = 2).
Быстрый рост или уменьшение: если знаменатель больше 1, числа растут (2, 6, 18…); если меньше 1, но больше 0, числа уменьшаются (8, 4, 2…).
Характеристическое свойство: если взять три последовательных члена, то квадрат среднего члена равен произведению двух соседних. Например, в 2, 4, 8: 4² = 16, а 2 × 8 = 16. ✅
Пример: в последовательности 5, 15, 45…
Знаменатель: 15 ÷ 5 = 3.
Следующий член: 45 × 3 = 135. ✨
Как найти любой член прогрессии? 🔍
Чтобы найти член под номером n, не нужно умножать все числа по очереди! Есть простой способ:
Берём первый член (a₁) и умножаем его на знаменатель (q) (n − 1) раз.
Пример: в прогрессии 2, 6, 18, 54… (a₁ = 2, q = 3):
1-й член: 2.
2-й член: 2 × 3 = 6.
3-й член: 6 × 3 = 18.
4-й член: 18 × 3 = 54.
5-й член: 2 × 3 × 3 × 3 × 3 = 2 × 81 = 162.
Это как прыгнуть сразу на нужную ступеньку, зная, с чего начать и во сколько раз увеличивать! 🦘
Зачем это нужно? 🧠
Геометрическая прогрессия встречается в жизни:
Рост числа подписчиков в соцсетях, если каждый день их становится в 2 раза больше. 📱
Уменьшение количества лекарства в организме, если оно выводится наполовину каждый день. 💊
Расчёт процентов в банке, где сумма увеличивается в определённое количество раз. 💸
Практика на уроке 📚
Мы будем:
Проверять, является ли последовательность геометрической прогрессией.
Находить знаменатель и следующий член.
Вычислять член по его номеру.
Попробуем? 😄 В прогрессии 3, 9, 27, 81… найдём 5-й член:
Первый член = 3, знаменатель = 3.
5-й член: 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3 × 81 = 243. 🎉
Ответ: Проверяем знаменатель: 12 ÷ 4 = 3, 36 ÷ 12 = 3, 108 ÷ 36 = 3. Это геометрическая прогрессия. Следующий член: 108 × 3 = 324.
Ответ: Умножаем первый член на знаменатель два раза: 5 × 2 × 2 = 20.
Ответ: Проверяем: 2² = 4, а 4 × 1 = 4. Свойство выполнено, это геометрическая прогрессия.
Оцените урок:
До 2030 года: исчезнут 67 профессий и появятся новых 186 🤖
Посмотреть в Telegram