Функция y=k/x (гипербола), её свойства и график

Тема урока: Функция y=k/x (гипербола), её свойства и график 📚

Цели урока 🎯

• Понять, что такое обратная пропорциональность 🧠

• Научиться строить гиперболу по таблице значений 📈

• Определять расположение ветвей по знаку k и находить k по точке 🛠

Основная часть урока 📝

1. Что за функция y = k/x? 🤔

Функция y = k/x, где k ≠ 0, называется обратной пропорциональностью: во сколько раз растёт x, во столько же раз уменьшается y. Её график — гипербола, кривая из двух отдельных ветвей.
✨ Важно: x = 0 подставлять нельзя — на ноль не делят. Область определения: все числа, кроме нуля.

2. Строим график по точкам 🛠

Пример 1. Построим y = 6/x.

1. Таблица для x > 0: при x = 1, 2, 3, 6 получаем y = 6, 3, 2, 1.

2. Для x < 0: при x = -1, -2, -3, -6 получаем y = -6, -3, -2, -1.

3. Соединяем точки двумя плавными ветвями: одна в первой четверти, другая в третьей. Проверка: 6 · 1 = 6, 3 · 2 = 6, 2 · 3 = 6 — произведение x · y везде равно 6.

3. Знак k и расположение ветвей 🔍

• k > 0 — ветви в первой и третьей четвертях (x и y одного знака).

• k < 0 — ветви во второй и четвёртой четвертях (x и y разных знаков).

• Гипербола не пересекает оси координат — только бесконечно приближается к ним.

4. Точка на графике и поиск k 📌

Пример 2. Принадлежит ли точка (-4; -2) графику y = 8/x?

1. Подставляем x = -4: y = 8/(-4) = -2.

2. Совпало с ординатой точки. Ответ: да, принадлежит.

Пример 3. График y = k/x проходит через точку (5; -3). Найди k.

1. Из y = k/x следует k = x · y.

2. k = 5 · (-3) = -15.

3. Проверка: y = -15/5 = -3 — верно. Ответ: k = -15, ветви во второй и четвёртой четвертях.

5. Свойства функции 📊

• Область определения и область значений — все числа, кроме нуля.

• График симметричен относительно начала координат.

• При k > 0 функция убывает на каждом из промежутков x < 0 и x > 0.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Подставлять x = 0 → ✅ на ноль делить нельзя: ноль не входит в область определения.

• ❌ Соединять две ветви линией через начало координат → ✅ гипербола состоит из двух отдельных ветвей, между ними разрыв.

• ❌ Искать коэффициент как k = y/x → ✅ из y = k/x следует k = x · y.

• ❌ Дорисовывать график до пересечения с осями → ✅ ветви только приближаются к осям, но не касаются их.

Мини-конспект 📋

• y = k/x — обратная пропорциональность, график — гипербола из двух ветвей.

• x ≠ 0: ноль не входит в область определения.

• k > 0 — ветви в I и III четвертях, k < 0 — во II и IV.

• Для любой точки графика x · y = k.

• Гипербола не пересекает оси координат.

• График симметричен относительно начала координат.

Зачем это нужно? 🚀

• Скорость и время при одном и том же пути связаны обратной пропорциональностью: едешь вдвое быстрее — доедешь вдвое быстрее 🚗

• Давление и площадь опоры: чем шире лыжи, тем меньше проваливаешься в снег ⛷

• Чем больше рабочих на стройке, тем меньше времени на ту же работу — классические задачи на совместный труд 👷