Логарифмические уравнения

Тема урока: Логарифмические уравнения 📚

Цели урока 🎯

• Узнать три основных метода решения логарифмических уравнений 🧠

• Научиться применять определение логарифма и замену переменной 🛠

• Понять, зачем нужны ОДЗ и проверка корней ✅

Основная часть урока 📝

1. Что такое логарифмическое уравнение? 🤔

Логарифмическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестная стоит под знаком логарифма. Простейший вид: log_a x = b, его единственный корень x = a^b.
✨ Важно: у каждого уравнения есть ОДЗ — все выражения под логарифмами должны быть строго положительны. Про неё нельзя забывать ни на минуту.

2. Метод 1: по определению логарифма 🛠

Пример 1. Решить log₂(x − 3) = 4.

1. По определению логарифма: x − 3 = 2⁴ = 16.

2. x = 16 + 3 = 19.

3. Проверка: log₂(19 − 3) = log₂ 16 = 4 — верно. Ответ: x = 19 ✅

3. Метод 2: приравнивание аргументов 🔍

Если log_a f(x) = log_a g(x), то f(x) = g(x) — но только при положительных аргументах.

Пример 2. Решить log₃(x + 1) = log₃(2x − 5).

1. Основания одинаковые — приравниваем аргументы: x + 1 = 2x − 5.

2. x = 6.

3. Проверка ОДЗ: x + 1 = 7 > 0 и 2x − 5 = 7 > 0. Оба аргумента положительны. Ответ: x = 6 ✅

4. Метод 3: замена переменной 🔁

Пример 3. Решить lg² x − 3 lg x + 2 = 0.

1. Замена t = lg x: уравнение превращается в квадратное t² − 3t + 2 = 0.

2. По теореме Виета: t = 1 или t = 2.

3. Обратная замена: lg x = 1 → x = 10; lg x = 2 → x = 100.

4. Проверка: при x = 10: 1 − 3 + 2 = 0 ✅; при x = 100: 4 − 6 + 2 = 0 ✅. Ответ: x = 10; x = 100.

5. Ловушка посторонних корней 🚨

Пример 4. Решить lg(x − 1) + lg(x − 3) = lg 3.

1. Сумма логарифмов — логарифм произведения: lg((x − 1)(x − 3)) = lg 3.

2. (x − 1)(x − 3) = 3 → x² − 4x + 3 = 3 → x² − 4x = 0 → x(x − 4) = 0.

3. Кандидаты: x = 0 и x = 4. Но ОДЗ требует x − 1 > 0 и x − 3 > 0, то есть x > 3.

4. x = 0 — посторонний корень, отбрасываем. Проверка x = 4: lg 3 + lg 1 = lg 3 + 0 = lg 3 — верно. Ответ: x = 4 ✅

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Не проверяют ОДЗ и записывают посторонние корни → ✅ каждый корень подставляй в исходное уравнение.

• ❌ Превращают lg f + lg g в lg(f + g) → ✅ сумма логарифмов — это логарифм произведения: lg f + lg g = lg(fg).

• ❌ Из log₂ x = 3 получают x = 3² → ✅ основание возводится в правую часть: x = 2³ = 8.

• ❌ После замены находят t и останавливаются → ✅ обратная замена обязательна для каждого значения t.

Мини-конспект 📋

• log_a f(x) = b → f(x) = a^b.

• log_a f(x) = log_a g(x) → f(x) = g(x) плюс проверка положительности.

• Видишь квадрат логарифма — делай замену t = log_a x.

• Сумма логарифмов с одним основанием — логарифм произведения.

• ОДЗ: все аргументы логарифмов строго больше нуля.

• Финальный шаг любого решения — проверка корней подстановкой.

Зачем это нужно? 🚀

• Срок, за который вклад вырастет до нужной суммы, находят именно логарифмическим уравнением 💰

• Возраст археологических находок по углероду-14 — решение уравнения с ln ⏳

• Логарифмические уравнения — обязательное задание профильного ЕГЭ по математике 🎯