Логарифмические неравенства

Тема урока: Логарифмические неравенства 📚

Цели урока 🎯

• Понять, как монотонность логарифмической функции влияет на знак неравенства 🧠

• Научиться решать неравенства с основанием больше и меньше единицы 🔁

• Запомнить, что ОДЗ — обязательная часть решения 📐

Основная часть урока 📝

1. В чём главная особенность? 🤔

Логарифмическое неравенство решается переходом от логарифмов к их аргументам. Но этот переход зависит от основания: функция y = log_a x при a > 1 возрастает, а при 0 < a < 1 убывает. Возрастающая функция сохраняет порядок чисел, убывающая — меняет его на противоположный.

2. Правило знака 🔍

• Основание a > 1: переходим к аргументам, знак неравенства сохраняется.

• Основание 0 < a < 1: переходим к аргументам, знак меняется на противоположный.

• Число справа превращаем в логарифм: b = log_a a^b.
  ✨ Важно: сначала запиши ОДЗ — все аргументы логарифмов положительны, — а в конце пересеки с ней ответ.

3. Пример 1: основание больше единицы 🛠

Решить log₂(x − 1) > 3.

1. ОДЗ: x − 1 > 0, то есть x > 1.

2. Представляем 3 = log₂ 8: получаем log₂(x − 1) > log₂ 8.

3. Основание 2 > 1 — знак сохраняется: x − 1 > 8, то есть x > 9.

4. Пересекаем с ОДЗ (x > 1): остаётся x > 9. Ответ: (9; +∞).

5. Проверка: x = 17: log₂ 16 = 4 > 3 — верно ✅

4. Пример 2: основание меньше единицы 🔁

Решить log_1/3(x + 2) ≥ −1.

1. ОДЗ: x + 2 > 0, то есть x > −2.

2. Представляем −1 = log_1/3 3, потому что (1/3)⁻¹ = 3.

3. Основание 1/3 < 1 — знак переворачивается: x + 2 ≤ 3, то есть x ≤ 1.

4. Пересекаем с ОДЗ: −2 < x ≤ 1. Ответ: (−2; 1].

5. Проверка: x = 0: log_1/3 2 ≈ −0,63 ≥ −1 ✅; граница x = 1: log_1/3 3 = −1 ≥ −1 — тоже подходит ✅

5. Пример 3: логарифмы с обеих сторон ✅

Решить log_0,5(3x − 1) < log_0,5(x + 3).

1. ОДЗ: 3x − 1 > 0 и x + 3 > 0. Первое даёт x > 1/3, второе x > −3. Итого x > 1/3.

2. Основание 0,5 < 1 — знак переворачивается: 3x − 1 > x + 3.

3. 2x > 4, то есть x > 2.

4. Пересекаем с ОДЗ (x > 1/3): ответ x > 2, промежуток (2; +∞).

5. Проверка: x = 3: log_0,5 8 = −3, log_0,5 6 ≈ −2,58, и −3 < −2,58 — верно ✅

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ При основании меньше 1 оставляют знак как был → ✅ при 0 < a < 1 знак неравенства меняется на противоположный.

• ❌ Решают без ОДЗ → ✅ сначала ОДЗ, в конце — пересечение ответа с ней.

• ❌ Записывают ОДЗ только для одного логарифма → ✅ положительными должны быть все выражения под логарифмами.

• ❌ Путают скобки в ответе → ✅ строгий знак — круглая скобка, нестрогий — квадратная у конечной точки.

Мини-конспект 📋

• Сначала ОДЗ: все аргументы логарифмов > 0.

• a > 1 — знак сохраняется; 0 < a < 1 — переворачивается.

• Число b представляй как log_a a^b.

• Ответ — пересечение полученного промежутка с ОДЗ.

• Проверяй себя подстановкой числа из ответа.

• Ответ записывай промежутком с правильными скобками.

Зачем это нужно? 🚀

• Через сколько лет вклад превысит нужную сумму — это логарифмическое неравенство 💰

• Когда уровень шума или заражённая площадь выйдут за допустимый порог — тоже 🔊

• Логарифмическое неравенство — классическое задание №15 профильного ЕГЭ 🎯