Тема урока: Метод интервалов 📚

Цели урока 🎯

• Понять, что такое метод интервалов 🧠

• Научиться использовать его для решения неравенств 🔢

• Освоить показ решений на числовой прямой 📈

Основная часть урока 📝

1. Что такое метод интервалов? 🤔

Метод интервалов — это способ решать неравенства, разбивая числовую прямую на части (интервалы) и проверяя, где выражение положительное или отрицательное. Он особенно удобен для неравенств, где есть переменная в квадрате или в произведении, например, x² — 4 > 0 или (x — 1)(x + 2) < 0.
✨ Важно: Метод помогает найти все значения x, при которых неравенство выполняется.

2. Как работает метод интервалов? 🛠

Шаги:

1. Найти точки, где выражение равно нулю (корни).

2. Разделить числовую прямую на интервалы с помощью этих точек.

3. Проверить знак выражения (положительное или отрицательное) в каждом интервале.

4. Выбрать интервалы, которые подходят под знак неравенства.
   ⚠️ Запомни: Корни — это границы интервалов, а знаки показывают, где неравенство верно.

3. Пример решения шаг за шагом 📊

Рассмотрим неравенство: (x — 3)(x + 1) > 0

1. Найти корни: Решаем (x — 3)(x + 1) = 0 → x — 3 = 0 или x + 1 = 0 → x = 3, x = -1.

2. Разделить числовую прямую: Корни -1 и 3 делят прямую на три интервала:

   • x < -1

   • -1 < x < 3

   • x > 3

3. Проверить знаки:

   • Для x = -2 (x < -1): (-2 — 3)(-2 + 1) = (-5)(-1) = положительное.

   • Для x = 0 (-1 < x < 3): (0 — 3)(0 + 1) = (-3)(1) = отрицательное.

   • Для x = 4 (x > 3): (4 — 3)(4 + 1) = (1)(5) = положительное.

4. Выбрать интервалы: Нам нужно, где выражение > 0 (положительное), то есть x < -1 или x > 3.
   Ответ: x < -1 или x > 3.

4. Показ решений на числовой прямой 📈

• Ставим точки на корнях (x = -1 и x = 3). Для строгого неравенства (>) кружки пустые.

• Рисуем стрелки влево от -1 и вправо от 3, где выражение положительное.
  ✨ Если неравенство нестрогое (≥, ≤), кружки закрашиваем, включая корни, если они подходят.

5. Проверка решения ✅

Подставляем число из ответа:
Для x = 4 в (x — 3)(x + 1) > 0: (4 — 3)(4 + 1) = (1)(5) = 5, а 5 > 0 — верно! 😊
Для x = 0 (не в решении): (0 — 3)(0 + 1) = (-3)(1) = -3, а -3 не больше 0 — правильно!

6. Зачем нужен метод интервалов? 🚀

Он помогает решать задачи, где нужно найти диапазоны значений:

• Сколько часов можно работать, чтобы доход был выше нуля? 💸

• Какие значения подходят, чтобы площадь фигуры была больше заданной? 📏