Метод интервалов
Тема урока: Метод интервалов
Цели урока
Понять, что такое метод интервалов
Научиться использовать его для решения неравенств
Освоить показ решений на числовой прямой
Основная часть урока
1. Что такое метод интервалов?
Метод интервалов — это способ решать неравенства, разбивая числовую прямую на части (интервалы) и проверяя, где выражение положительное или отрицательное. Он особенно удобен для неравенств, где есть переменная в квадрате или в произведении, например, x² — 4 > 0 или (x — 1)(x + 2) < 0.
Важно: Метод помогает найти все значения x, при которых неравенство выполняется.
2. Как работает метод интервалов?
Шаги:
Найти точки, где выражение равно нулю (корни).
Разделить числовую прямую на интервалы с помощью этих точек.
Проверить знак выражения (положительное или отрицательное) в каждом интервале.
Выбрать интервалы, которые подходят под знак неравенства.
Запомни: Корни — это границы интервалов, а знаки показывают, где неравенство верно.
3. Пример решения шаг за шагом
Рассмотрим неравенство: (x — 3)(x + 1) > 0
Найти корни: Решаем (x — 3)(x + 1) = 0 → x — 3 = 0 или x + 1 = 0 → x = 3, x = -1.
Разделить числовую прямую: Корни -1 и 3 делят прямую на три интервала:
x < -1
-1 < x < 3
x > 3
Проверить знаки:
Для x = -2 (x < -1): (-2 — 3)(-2 + 1) = (-5)(-1) = положительное.
Для x = 0 (-1 < x < 3): (0 — 3)(0 + 1) = (-3)(1) = отрицательное.
Для x = 4 (x > 3): (4 — 3)(4 + 1) = (1)(5) = положительное.
Выбрать интервалы: Нам нужно, где выражение > 0 (положительное), то есть x < -1 или x > 3.
Ответ: x < -1 или x > 3.
4. Показ решений на числовой прямой
Ставим точки на корнях (x = -1 и x = 3). Для строгого неравенства (>) кружки пустые.
Рисуем стрелки влево от -1 и вправо от 3, где выражение положительное.
Если неравенство нестрогое (≥, ≤), кружки закрашиваем, включая корни, если они подходят.
5. Проверка решения
Подставляем число из ответа:
Для x = 4 в (x — 3)(x + 1) > 0: (4 — 3)(4 + 1) = (1)(5) = 5, а 5 > 0 — верно!
Для x = 0 (не в решении): (0 — 3)(0 + 1) = (-3)(1) = -3, а -3 не больше 0 — правильно!
6. Зачем нужен метод интервалов?
Он помогает решать задачи, где нужно найти диапазоны значений:
Сколько часов можно работать, чтобы доход был выше нуля?
Какие значения подходят, чтобы площадь фигуры была больше заданной?
Найти корни, решив уравнение, где выражение равно нулю.
Корни: x — 2 = 0 → x = 2, x + 2 = 0 → x = -2. Интервалы: x < -2, -2 < x < 2, x > 2. Проверяем:
x = -3: (-3 — 2)(-3 + 2) = (-5)(-1) = положительное.
x = 0: (0 — 2)(0 + 2) = (-2)(2) = отрицательное.
x = 3: (3 — 2)(3 + 2) = (1)(5) = положительное.
Нам нужно ≤ 0 (отрицательное или ноль), то есть -2 ≤ x ≤ 2.
Корни: x = 1, x = 3. Выражение > 0 при x < 1 или x > 3. На числовой прямой: пустые кружки на 1 и 3, стрелки влево от 1 и вправо от 3.
Оцените урок:
