Основные тригонометрические тождества

Тема урока: Основные тригонометрические тождества 📚

Цели урока 🎯

• Понять, откуда берётся тождество sin²α + cos²α = 1 🧠

• Выучить следствия: связи тангенса, котангенса, синуса и косинуса 🔗

• Научиться находить все функции угла по одной известной 📈

Основная часть урока 📝

1. Главное тождество 🤔

Точка единичной окружности имеет координаты (cos α; sin α) и лежит на окружности x² + y² = 1. Подставляем координаты — получаем основное тригонометрическое тождество:
sin²α + cos²α = 1 — для любого угла α.
✨ Важно: это просто теорема Пифагора, записанная для единичной окружности.

2. Полезные следствия 🔍

• sin²α = 1 − cos²α и cos²α = 1 − sin²α.

• tg α·ctg α = 1 (при sin α ≠ 0 и cos α ≠ 0) — тангенс и котангенс взаимно обратны.

• 1 + tg²α = 1/cos²α (при cos α ≠ 0).

• 1 + ctg²α = 1/sin²α (при sin α ≠ 0).

3. Пример 1. Находим все функции по синусу 🛠

Дано: sin α = 3/5 и π/2 < α < π. Найдём cos α, tg α и ctg α.

1. Из тождества: cos²α = 1 − (3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25, значит cos α = 4/5 или cos α = −4/5.

2. Выбираем знак: угол во II четверти, там косинус отрицателен: cos α = −4/5.

3. Считаем тангенс: tg α = (3/5)/(−4/5) = −3/4.

4. Котангенс: ctg α = 1/tg α = −4/3.

5. Проверка: (3/5)² + (−4/5)² = 9/25 + 16/25 = 1 ✅, а tg α·ctg α = (−3/4)·(−4/3) = 1 ✅.

4. Пример 2. Упрощаем выражение 🔄

Упростим sin⁴α + 2sin²α·cos²α + cos⁴α.

1. Замечаем формулу квадрата суммы: это (sin²α + cos²α)².

2. По основному тождеству sin²α + cos²α = 1, значит всё выражение равно 1² = 1.

3. Проверка при α = 30°: sin²30° = 1/4, cos²30° = 3/4. Тогда 1/16 + 2·(1/4)·(3/4) + 9/16 = 1/16 + 6/16 + 9/16 = 16/16 = 1 ✅.

5. Пример 3. Выражение через тангенс ✅

Дано: tg α = 2. Найдём значение (sin α + cos α)/(sin α − cos α).

1. Делим числитель и знаменатель на cos α (он не ноль, раз тангенс существует): получаем (tg α + 1)/(tg α − 1).

2. Подставляем: (2 + 1)/(2 − 1) = 3/1 = 3.

3. Проверка: возьмём угол I четверти с tg α = 2: sin α = 2/√5, cos α = 1/√5. Тогда (2/√5 + 1/√5)/(2/√5 − 1/√5) = (3/√5)/(1/√5) = 3 ✅. Ответ: 3.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Писать sin²α + cos²β = 1 для разных углов → ✅ тождество верно только для одного и того же угла.

• ❌ Извлекая корень, брать только «плюс» → ✅ у корня два знака, верный выбирается по четверти угла.

• ❌ Применять 1 + tg²α = 1/cos²α, не проверив cos α ≠ 0 → ✅ формулы с тангенсом и котангенсом имеют ограничения.

• ❌ Путать sin²α (квадрат синуса) и sin α² (синус квадрата угла) → ✅ это разные выражения, следи за записью.

Мини-конспект 📋

• sin²α + cos²α = 1 — работает для любого угла.

• tg α = sin α/cos α, ctg α = cos α/sin α, tg α·ctg α = 1.

• 1 + tg²α = 1/cos²α; 1 + ctg²α = 1/sin²α.

• По одной функции угла находятся все остальные.

• Знак при извлечении корня выбирай по четверти.

• Проверка: подставь найденные значения обратно в тождество.

Зачем это нужно? 🚀

• Тождества сокращают громоздкие выражения в физике колебаний и волн 🌊

• В ЕГЭ задачи «найди cos α, если известен sin α» решаются именно так 🎯

• В компьютерной графике через эти связи пересчитывают повороты объектов 🎮