Первообразная. Правила нахождения первообразных

Тема урока: Первообразная. Правила нахождения первообразных 📚

Цели урока 🎯

• Понять, что такое первообразная и как она связана с производной 🔗

• Запомнить таблицу первообразных основных функций 📖

• Освоить правила нахождения первообразных и подбор константы C 🧮

Основная часть урока 📝

1. Что такое первообразная? 🤔

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке, если F'(x) = f(x) в каждой его точке. То есть нахождение первообразной — операция, обратная дифференцированию.
Например, для f(x) = 2x первообразная F(x) = x², потому что (x²)’ = 2x.
✨ Важно: первообразных бесконечно много. Если F(x) — первообразная, то и F(x) + C тоже, ведь производная константы равна нулю. Общий вид записывают как F(x) + C.

2. Таблица первообразных 🔍

• f(x) = xⁿ (n ≠ −1) → F(x) = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C

• f(x) = 1/x → F(x) = ln|x| + C

• f(x) = sin x → F(x) = −cos x + C

• f(x) = cos x → F(x) = sin x + C

• f(x) = e^x → F(x) = e^x + C

• f(x) = 1/cos²x → F(x) = tg x + C

3. Правила нахождения 🛠

1. Сумма: первообразная суммы равна сумме первообразных.

2. Множитель: постоянный множитель выносится — для k·f(x) первообразная k·F(x).

3. Линейный аргумент: для f(kx + b) первообразная (1/k)·F(kx + b) + C.

4. Разбираем примеры ✍️

Пример 1. f(x) = 3x² + 2x − 5.

1. Интегрируем почленно по таблице: 3·x³/3 + 2·x²/2 − 5x.

2. Упрощаем: F(x) = x³ + x² − 5x + C.

3. ✅ Проверка: (x³ + x² − 5x + C)’ = 3x² + 2x − 5 — совпало с f(x).

Пример 2. f(x) = cos 2x.

1. Аргумент линейный, k = 2: берём первообразную косинуса и делим на k.

2. F(x) = (1/2)·sin 2x + C.

3. ✅ Проверка: ((1/2)·sin 2x)’ = (1/2)·2·cos 2x = cos 2x.

Пример 3. Найди первообразную f(x) = 4x³ − 6x, график которой проходит через точку (1; 2).

1. Общий вид: F(x) = x⁴ − 3x² + C.

2. Условие: F(1) = 1 − 3 + C = 2, отсюда C = 4.

3. Ответ: F(x) = x⁴ − 3x² + 4.

4. ✅ Проверка: F'(x) = 4x³ − 6x и F(1) = 1 − 3 + 4 = 2 — оба условия выполнены.

5. Проверка — твой главный инструмент ✅

Любой ответ проверяется за десять секунд: продифференцируй найденную F(x). Получилась исходная f(x) — всё верно. Не получилась — ошибка чаще всего в степени, знаке или потерянном множителе 1/k.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Забывают +C → ✅ первообразная определена с точностью до константы, без C ответ неполный.

• ❌ Для xⁿ делят на n → ✅ сначала степень увеличивается: xⁿ⁺¹/(n + 1).

• ❌ Путают знаки у синуса и косинуса → ✅ для sin x первообразная −cos x, для cos x — sin x; сомневаешься — продифференцируй.

• ❌ Для f(kx + b) теряют множитель 1/k → ✅ проверка дифференцированием сразу покажет лишний коэффициент k.

Мини-конспект 📋

• F — первообразная f, если F’ = f.

• Все первообразные: F(x) + C.

• xⁿ → xⁿ⁺¹/(n + 1) + C при n ≠ −1.

• sin x → −cos x + C; cos x → sin x + C.

• Сумму интегрируем почленно, константу выносим.

• f(kx + b) → (1/k)·F(kx + b) + C.

• Проверка ответа — дифференцированием.

Зачем это нужно? 🚀

• В физике по формуле скорости восстанавливают координату тела, а по ускорению — скорость 🚗

• Первообразная — ключ к интегралу и вычислению площадей фигур с кривыми границами 📐

• В экономике по темпу изменения величины (выручки, населения) находят саму величину 📊