Площадь криволинейной трапеции

Тема урока: Площадь криволинейной трапеции 📚

Цели урока 🎯

• Понять, что такое криволинейная трапеция 🧠

• Научиться вычислять её площадь через первообразную 📐

• Отработать формулу S = F(b) − F(a) на примерах ✍️

Основная часть урока 📝

1. Что такое криволинейная трапеция? 🤔

Криволинейная трапеция — это фигура, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [a; b] функции y = f(x), осью x и вертикальными прямыми x = a и x = b. Снизу у неё прямое основание, сверху — «крыша» из графика функции, поэтому обычные формулы геометрии здесь не работают.

2. Формула площади 🔍

Если F(x) — любая первообразная функции f(x), то площадь криволинейной трапеции равна:
S = F(b) − F(a)
✨ Важно: константа C при вычитании сокращается, поэтому первообразную берём с C = 0. Алгоритм из трёх шагов: найти F(x) → подставить b и a → вычесть.

3. Пример 1: парабола 🛠

Найдём площадь фигуры под графиком y = x² на отрезке [0; 3].

1. На [0; 3] функция x² ≥ 0 — формула применима.

2. Первообразная: F(x) = x³/3. Проверка: (x³/3)’ = x².

3. S = F(3) − F(0) = 27/3 − 0 = 9.

✅ Прикидка: фигура занимает часть прямоугольника 3 × 9 площадью 27, и ответ 9 — ровно его треть. Для параболы так и должно быть.

4. Пример 2: синусоида 🌊

Найдём площадь под одной аркой синусоиды: y = sin x, x ∈ [0; π].

1. На [0; π] синус неотрицателен — условие выполнено.

2. Первообразная: F(x) = −cos x. Проверка: (−cos x)’ = sin x.

3. S = F(π) − F(0) = (−cos π) − (−cos 0) = 1 + 1 = 2.

✅ Прикидка: арка вписана в прямоугольник π × 1 ≈ 3,14, и ответ 2 меньше этой площади — правдоподобно.

5. Пример 3: границы ищем сами ✍️

Найдём площадь фигуры, ограниченной графиком y = 4 − x² и осью x.

1. Пределы не даны — ищем нули функции: 4 − x² = 0 → x = −2 и x = 2. Между ними 4 − x² ≥ 0.

2. Первообразная: F(x) = 4x − x³/3. Проверка: (4x − x³/3)’ = 4 − x².

3. S = F(2) − F(−2) = (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 16 − 16/3 = 32/3 ≈ 10,7.

✅ Проверка симметрией: фигура симметрична относительно оси y, поэтому S = 2·(F(2) − F(0)) = 2·16/3 = 32/3 — совпало.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Вычисляют F(a) − F(b) → ✅ из значения в правом конце вычитаем значение в левом: S = F(b) − F(a).

• ❌ Применяют формулу к функции, уходящей ниже оси x → ✅ формула работает при f(x) ≥ 0; участки под осью считают отдельно и берут с модулем.

• ❌ Не находят пределы, когда они не даны явно → ✅ границы — это нули функции, реши уравнение f(x) = 0.

• ❌ Ошибаются в дробях при подстановке отрицательных чисел → ✅ подставляй в скобках: F(−2) = 4·(−2) − (−2)³/3 = −8 + 8/3, и помни: площадь не бывает отрицательной.

Мини-конспект 📋

• Криволинейная трапеция: график f(x) ≥ 0, ось x, прямые x = a и x = b.

• S = F(b) − F(a), где F — первообразная f.

• Константу C берём равной нулю — она сокращается.

• Если пределы не даны — это нули функции.

• Ниже оси x формула без модуля не работает.

• Отрицательная «площадь» в ответе — сигнал об ошибке.

Зачем это нужно? 🚀

• Площадь участка земли или детали с криволинейной границей считают именно так 🗺️

• В физике площадь под графиком скорости — это пройденный путь, а под графиком силы — работа ⚙️

• Задачи на площадь криволинейной трапеции регулярно встречаются на ЕГЭ по математике 🎯