Правило произведения. Комбинаторные задачи

Тема урока: Правило произведения. Комбинаторные задачи

Цели урока

• Понять, как устроено правило произведения

• Научиться считать варианты без полного перебора

• Отличать ситуации умножения от ситуаций сложения

Основная часть урока

1. Что считает комбинаторика?

Комбинаторика отвечает на вопрос «сколькими способами можно что-то сделать»: составить расписание, выбрать команду, придумать пароль. Перебирать все варианты вручную долго и ненадёжно, поэтому нужны правила, которые дают ответ сразу.

2. Правило произведения

Если объект A можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора объект B можно выбрать n способами, то пару (A; B) можно выбрать m · n способами. Правило работает для любого числа последовательных шагов: варианты каждого шага перемножаются.
Важно: есть и правило суммы — для случаев «или». Если A выбирается m способами, а B — n способами и эти выборы не пересекаются, то «A или B» — это m + n способов.

3. Пример 1: составляем обед

В столовой 3 супа, 4 вторых блюда и 2 напитка. Сколько разных обедов из трёх позиций можно собрать?

1. Суп: 3 способа.

2. Второе: к каждому супу — 4 варианта, уже 3 · 4 = 12 сочетаний.

3. Напиток: каждое из 12 сочетаний дополняется 2 способами.

4. Ответ: 3 · 4 · 2 = 24 обеда.
   Проверка: 12 пар «суп + второе», каждая с двумя напитками — снова 24 ✓.

4. Пример 2: трёхзначные числа

Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, если цифры в числе не повторяются?

1. Первая цифра: любая, кроме нуля — 4 варианта.

2. Вторая цифра: любая из четырёх оставшихся (теперь ноль можно) — 4 варианта.

3. Третья цифра: любая из трёх оставшихся — 3 варианта.

4. Ответ: 4 · 4 · 3 = 48 чисел.
   Проверка другим способом: всего цепочек из трёх разных цифр 5 · 4 · 3 = 60, из них начинаются с нуля 4 · 3 = 12; 60 − 12 = 48 ✓.

5. Пример 3: пин-код

1. Сколько существует четырёхзначных пин-кодов? На каждой из четырёх позиций может стоять любая из 10 цифр, повторы разрешены.

2. По правилу произведения: 10 · 10 · 10 · 10 = 10⁴ = 10 000 кодов.
   Важно: когда повторы разрешены, число вариантов на каждом шаге не уменьшается.

Типичные ошибки

• ❌ Перемножают варианты, которые исключают друг друга («поеду автобусом или поездом») → ✅ для альтернатив «или» работает правило суммы.

• ❌ Забывают ограничение «ноль не может быть первой цифрой» → ✅ шаг с ограничением считай первым и отдельно.

• ❌ При выборе без повторений оставляют одинаковое число вариантов на каждом шаге → ✅ после каждого выбора вариантов становится на один меньше.

• ❌ Оставляют «жёсткое» условие на конец решения → ✅ сначала закрывай позиции с самыми строгими ограничениями.

Мини-конспект

• Правило произведения: m способов для A и n способов для B → m · n способов для пары.

• Правило распространяется на любое число последовательных шагов.

• «И то, и другое» — умножаем; «или то, или другое» — складываем.

• Ограничения (например, «ноль не первый») учитывай на самом раннем шаге.

• Без повторений число вариантов уменьшается на 1 с каждым шагом.

• С повторениями: n^k вариантов для k позиций по n значений.

Зачем это нужно?

• Надёжность паролей оценивают по числу комбинаций, которые придётся перебрать

• Составление расписаний, маршрутов и меню без утомительного перебора

• Подсчёт комбинаций в настольных играх и лотереях