Производная сложной функции

Тема урока: Производная сложной функции 📚

Цели урока 🎯

• Научиться видеть в формуле внешнюю и внутреннюю функции 🧠

• Освоить цепное правило дифференцирования 🔗

• Перестать забывать множитель — производную внутренней функции ⚠️

Основная часть урока 📝

1. Что такое сложная функция? 🤔

Сложная функция — это «функция от функции»: y = f(g(x)). Сначала x обрабатывает внутренняя функция g, а её результат — внешняя f. Возьмём y = (3x + 1)⁵: внутренняя функция g(x) = 3x + 1, внешняя — возведение в пятую степень. Простой тест: что ты вычислил бы последним, считая значение на калькуляторе, — то и есть внешняя функция.

2. Цепное правило 🔗

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней:
(f(g(x)))’ = f'(g(x)) · g'(x).
✨ Важно: в множителе f'(g(x)) внутренняя функция остаётся нетронутой — дифференцируем «внешний слой», не заглядывая внутрь, а затем домножаем на производную внутреннего.

3. Пример с самопроверкой 🛠

Пример 1. y = (2x + 3)².

1. Внешняя функция — квадрат, внутренняя — 2x + 3.

2. Цепное правило: y’ = 2(2x + 3) · (2x + 3)’ = 2(2x + 3) · 2 = 8x + 12. Ответ: 8x + 12.

3. Проверка без цепного правила: раскроем скобки: y = 4x² + 12x + 9, тогда y’ = 8x + 12. Совпало. ✅

4. Три классических примера 🔍

Пример 2. y = (3x + 1)⁵.

1. Внешняя — степень: производная 5(3x + 1)⁴.

2. Внутренняя — 3x + 1: производная 3.

3. Ответ: y’ = 5(3x + 1)⁴ · 3 = 15(3x + 1)⁴.

Пример 3. y = sin 2x.

1. Внешняя — синус: производная cos 2x (аргумент не трогаем).

2. Внутренняя — 2x: производная 2.

3. Ответ: y’ = 2 cos 2x. Проверка в точке x = 0: секущая (sin 0,02 − sin 0)/0,01 ≈ 0,02/0,01 = 2, и y'(0) = 2 cos 0 = 2. ✅

Пример 4. y = √(x² + 1).

1. Внешняя — корень: производная 1/(2√(x² + 1)).

2. Внутренняя — x² + 1: производная 2x.

3. Ответ: y’ = 2x/(2√(x² + 1)) = x/√(x² + 1). Проверка в точке x = 0: функция симметрична (чётная), значит касательная в нуле горизонтальна, и действительно y'(0) = 0. ✅

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Забывают домножить на производную внутренней функции: sin 2x → «cos 2x» → ✅ обязательный множитель 2: (sin 2x)’ = 2 cos 2x.

• ❌ Дифференцируют внутреннюю функцию прямо внутри внешней: (3x + 1)⁵ → «5 · 3⁴» → ✅ внутренняя часть в f'(g(x)) остаётся как была: 5(3x + 1)⁴ · 3.

• ❌ Путают, какая функция внешняя → ✅ внешняя — то действие, которое выполняется последним.

• ❌ Применяют цепное правило там, где его нет: x² · sin x — это произведение, а не сложная функция → ✅ сначала определи структуру выражения.

Мини-конспект 📋

• Сложная функция: y = f(g(x)), внешняя f, внутренняя g.

• Внешняя функция — действие, которое выполняется последним.

• Цепное правило: (f(g(x)))’ = f'(g(x)) · g'(x).

• В f'(g(x)) внутренняя функция не меняется.

• ((kx + b)ⁿ)’ = n(kx + b)ⁿ⁻¹ · k.

• (sin kx)’ = k cos kx; (cos kx)’ = −k sin kx.

• Где можно — проверь ответ раскрытием скобок.

Зачем это нужно? 🚀

• Колебания вида sin(ωt) в физике дифференцируются только цепным правилом 🎸

• Нейросети обучаются методом обратного распространения ошибки — это то же цепное правило, применённое много раз 🤖

• В задачах ЕГЭ на исследование функций внутри почти всегда сидит сложная функция 🎯