Геометрический смысл производной. Касательная

Тема урока: Геометрический смысл производной. Касательная 📚

Цели урока 🎯

• Понять, что производная — это наклон графика 🧠

• Выучить уравнение касательной 📐

• Научиться решать задачи о касательной по алгоритму 🛠

Основная часть урока 📝

1. От секущей к касательной 🤔

Проведём через две точки графика прямую — секущую. Теперь будем сдвигать вторую точку к первой: секущая поворачивается и в пределе занимает положение касательной — прямой, которая «прилегает» к графику в точке. Это геометрический двойник предела Δf/Δx из определения производной.

2. Геометрический смысл производной 📐

Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке:
f'(x₀) = k = tg α, где α — угол наклона касательной к положительному направлению оси Ox.
✨ Важно: f'(x₀) > 0 — график в точке идёт вверх, f'(x₀) < 0 — вниз, f'(x₀) = 0 — касательная горизонтальна.

3. Уравнение касательной ✍️

Касательная в точке x₀ задаётся формулой:
y = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀).
Алгоритм из четырёх шагов: найти f(x₀) → найти f'(x) → вычислить число f'(x₀) → подставить всё в формулу и упростить.

4. Пример 1. Касательная к параболе 🛠

Составим уравнение касательной к графику f(x) = x² в точке x₀ = 1.

1. f(1) = 1² = 1.

2. f'(x) = 2x.

3. f'(1) = 2.

4. y = 1 + 2(x − 1) = 2x − 1. Ответ: y = 2x − 1.

5. Проверка: точка касания (1; 1) лежит на прямой: 2 · 1 − 1 = 1 ✅. Кроме того, x² − (2x − 1) = (x − 1)² ≥ 0 — парабола нигде не опускается ниже касательной и касается её ровно в одной точке. ✅

5. Пример 2. Кубическая функция 🔍

f(x) = x³ − 2x, точка x₀ = 2.

1. f(2) = 8 − 4 = 4.

2. f'(x) = 3x² − 2; f'(2) = 12 − 2 = 10.

3. y = 4 + 10(x − 2) = 10x − 16. Ответ: y = 10x − 16.

4. Проверка: при x = 2 прямая даёт 20 − 16 = 4 = f(2) — проходит через точку касания. ✅

6. Пример 3. Касательная, параллельная прямой 🧭

В какой точке касательная к графику f(x) = x² параллельна прямой y = 4x?

1. Параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты, значит f'(x₀) = 4.

2. 2x₀ = 4 → x₀ = 2; точка касания (2; 4).

3. Касательная: y = 4 + 4(x − 2) = 4x − 4. Ответ: точка (2; 4), касательная y = 4x − 4.

4. Проверка: k = 4 — совпадает с коэффициентом прямой y = 4x, прямые параллельны. ✅

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Путают местами f(x₀) и f'(x₀) в формуле → ✅ свободное слагаемое — значение функции, множитель при скобке — значение производной.

• ❌ Подставляют в уравнение выражение f'(x), а не число f'(x₀) → ✅ сначала вычисли производную в точке касания.

• ❌ Думают, что касательная не может пересекать график → ✅ может — в других точках (например, у кубической параболы).

• ❌ Пишут k = α → ✅ k — это тангенс угла наклона: k = tg α, а не сам угол.

Мини-конспект 📋

• Касательная — предельное положение секущей.

• f'(x₀) = k = tg α — угловой коэффициент касательной.

• Уравнение касательной: y = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀).

• Алгоритм: f(x₀) → f'(x) → f'(x₀) → подстановка.

• f'(x₀) = 0 — касательная горизонтальна.

• Параллельность прямых — равенство угловых коэффициентов.

• Проверка: точка касания обязана лежать на касательной.

Зачем это нужно? 🚀

• Инженеры заменяют сложные кривые касательными, чтобы быстро оценивать значения — это называется линейным приближением 🛠

• Камень из пращи вылетает по касательной к окружности вращения — так физика описывает направление скорости 🪨

• Уклон дороги или пандуса — это угловой коэффициент, тот самый tg α 🛣