Тема урока: Решение квадратных неравенств 📚

Цели урока 🎯

• Понять, что такое квадратные неравенства 🧠

• Научиться решать квадратные неравенства с одной переменной 🔢

• Освоить, как показывать решения на числовой прямой 📈

Основная часть урока 📝

1. Что такое квадратное неравенство? 🤔

Квадратное неравенство — это выражение, где переменная (например, x) возводится в квадрат, а сравнение идет с помощью знаков: «больше» (>), «меньше» (<), «больше или равно» (≥) или «меньше или равно» (≤).
Примеры:

• x² — 4 > 0

• x² + 2x — 3 ≤ 0
  ✨ Важно: Решение — это все значения x, при которых неравенство верно.

2. Как решать квадратные неравенства? 🛠

Чтобы решить квадратное неравенство, нужно:

1. Найти корни уравнения: Поставить знак «=» вместо «>», «<«, «≥» или «≤» и решить уравнение (например, x² — 4 = 0).

2. Разложить на множители: Использовать корни, чтобы представить выражение в виде произведения, например, (x — 2)(x + 2).

3. Определить знаки: Проверить, где выражение положительное или отрицательное, в зависимости от знака неравенства.

4. Показать решение: Записать ответ и изобразить его на числовой прямой.
   ⚠️ Запомни: Квадратное неравенство зависит от того, где выражение больше или меньше нуля.

3. Пример решения шаг за шагом 📊

Рассмотрим неравенство: x² — 9 > 0

1. Решаем уравнение x² — 9 = 0:
   x² = 9 → x = 3 или x = -3

2. Разложим: x² — 9 = (x — 3)(x + 3)

3. Проверяем знаки:

   • Если x < -3 (например, x = -4): (-4 — 3)(-4 + 3) = (-7)(-1) = положительное.

   • Если -3 < x < 3 (например, x = 0): (0 — 3)(0 + 3) = (-3)(3) = отрицательное.

   • Если x > 3 (например, x = 4): (4 — 3)(4 + 3) = (1)(7) = положительное.
     Нам нужно, где выражение > 0, то есть положительное. Это x < -3 или x > 3.

4. Ответ: x < -3 или x > 3.

4. Показ решений на числовой прямой 📈

• Ставим точки (корни) на числовой прямой: для x = -3 и x = 3 — пустые кружки, так как неравенство строгое (>).

• Рисуем стрелки влево от -3 и вправо от 3, где выражение положительное.
  ✨ Для нестрогих неравенств (≥, ≤) кружки закрашиваем.

5. Проверка решения ✅

Подставляем число из ответа в неравенство.
Пример: Для x = 4 в x² — 9 > 0:
4² — 9 = 16 — 9 = 7, а 7 > 0 — верно! 😊
Для x = 0 (не входит в решение): 0² — 9 = -9, а -9 не больше 0 — правильно!

6. Зачем нужны квадратные неравенства? 🚀

Они помогают в задачах, где есть ограничения:

• Какой радиус круга даст площадь больше заданной? ⚪

• Сколько товаров можно продать, чтобы прибыль была выше нуля? 💸