Решение квадратных неравенств. Метод интервалов
Тема урока: Решение квадратных неравенств методом интервалов
Цели урока
Понять, что такое квадратные неравенства
Освоить метод интервалов для их решения
Научиться показывать решения на числовой прямой
Основная часть урока
1. Что такое квадратное неравенство?
Квадратное неравенство — это выражение, где переменная (например, x) возводится в квадрат, и оно сравнивается с числом с помощью знаков: «больше» (>), «меньше» (<), «больше или равно» (≥) или «меньше или равно» (≤).
Примеры:
x² — 5 > 0
x² + 3x — 4 ≤ 0
Важно: Решение — это все значения x, которые делают неравенство верным.
2. Что такое метод интервалов?
Метод интервалов — это способ найти, где выражение в неравенстве положительное или отрицательное. Он разбивает числовую прямую на части (интервалы) и проверяет знаки выражения в каждой из них.
Шаги:
Найти корни уравнения (где выражение равно 0).
Разделить числовую прямую на интервалы с помощью этих корней.
Проверить знак выражения в каждом интервале.
Выбрать интервалы, где знак соответствует неравенству.
3. Решение квадратного неравенства шаг за шагом
Рассмотрим неравенство: x² — 4 > 0
Найти корни: Решаем x² — 4 = 0 → x² = 4 → x = 2, x = -2.
Разложить выражение: x² — 4 = (x — 2)(x + 2).
Разделить числовую прямую: Корни -2 и 2 делят прямую на три интервала:
Левее -2 (x < -2)
Между -2 и 2 (-2 < x < 2)
Правее 2 (x > 2)
Проверить знаки:
Возьмем x = -3 (для x < -2): (-3 — 2)(-3 + 2) = (-5)(-1) = положительное.
Возьмем x = 0 (для -2 < x < 2): (0 — 2)(0 + 2) = (-2)(2) = отрицательное.
Возьмем x = 3 (для x > 2): (3 — 2)(3 + 2) = (1)(5) = положительное.
Выбрать интервалы: Нам нужно, где выражение > 0 (положительное), то есть x < -2 или x > 2.
Ответ: x < -2 или x > 2.
4. Показ решений на числовой прямой
Ставим точки на корнях (x = -2 и x = 2). Для строгого неравенства (>) кружки пустые.
Рисуем стрелки влево от -2 и вправо от 2, где выражение положительное.
Для нестрогих неравенств (≥, ≤) кружки закрашиваем, включая корни в решение, если они подходят.
5. Проверка решения
Подставляем число из ответа в неравенство.
Пример: Для x = 3 в x² — 4 > 0:
3² — 4 = 9 — 4 = 5, а 5 > 0 — верно!
Для x = 0 (не в решении): 0² — 4 = -4, а -4 не больше 0 — правильно!
6. Зачем это нужно?
Квадратные неравенства помогают решать задачи:
Какой размер коробки нужен, чтобы её площадь была больше заданной?
Сколько часов можно работать, чтобы доход превысил минимум?
Делит числовую прямую на интервалы с помощью корней и проверяет, где выражение положительное или отрицательное.
Решаем x² — 1 = 0 → x = 1, x = -1. Разложим: (x — 1)(x + 1). Интервалы: x < -1, -1 < x < 1, x > 1. Проверяем знаки:
x = -2: (-2 — 1)(-2 + 1) = (-3)(-1) = положительное.
x = 0: (0 — 1)(0 + 1) = (-1)(1) = отрицательное.
x = 2: (2 — 1)(2 + 1) = (1)(3) = положительное.
Нам нужно ≤ 0 (отрицательное или ноль), то есть -1 ≤ x ≤ 1.
Решаем x² — 9 = 0 → x = 3, x = -3. Выражение > 0 при x < -3 или x > 3. На числовой прямой: пустые кружки на -3 и 3, стрелки влево от -3 и вправо от 3.
Оцените урок:
