На данном уроке мы освежим в памяти понятие уравнения и изучим различные методы решения уравнений. Знания и навыки закрепим, решая примеры.

Введение

Мы уже знаем, что уравнение представляет собой равенство, в состав которого входят неизвестные элементы, или переменные. На данном занятии мы сосредоточимся на уравнениях с одной переменной. Рассмотрим уравнение: 2х+1=7

Подставим в это уравнение вместо неизвестной переменной число 1. Получается, , что не является верным равенством.

Если вместо неизвестной попробовать вставить число , получим неверное равенство .

.

Но если вместо неизвестной найти , то выражение становится верным: . Это означает, что число является решением данного уравнения.

Вопрос теперь в том, существуют ли другие решения этого уравнения? Чтобы это выяснить, нужно освоить методы решения уравнений.

Решить уравнение — значит, найти все его возможные решения или доказать их отсутствие (например, у уравнения нет решений, так как левая часть всегда равна нулю).

Как найти решение (или решения) уравнения? Можно, конечно, пытаться подставлять разные числа наугад, чтобы проверить, получится ли верное равенство. Однако такой метод походит на поиск «иголки в стоге сена», поскольку чисел бесконечно много и проверить каждое невозможно. Поэтому необходимо научиться преобразовывать уравнение таким образом, чтобы находить его ответы.

Начнем с более простых уравнений, не вызывающих у нас затруднений. Например, уравнение, содержащее переменную с одной стороны и число с другой:

х=5.

Ответ:5 .

х=2

Ответ: 2

В самом деле, если подставить другие значения вместо , равенство не будет верным.

Эквивалентные уравнения

Рассматривая следующий пример: 

Мы получаем информацию о скрытой переменной. Пускай нам неизвестно значение , мы знаем, что, если умножить на 5 и вычесть 1 , получаем . Однако эту информацию можно передать разными, эквивалентными способами. Если после вычитания было 19 , значит, до этого равенство имело вид 20 . То есть, ту же информацию можно сформулировать так: 

Корень у этого уравнения такой же, как и у предыдущего. Уравнения с одинаковыми решениями называются эквивалентными.

Уравнение такого вида эквивалентно начальному, но оно легче: умножение на дает результат . В итоге, вспоминая определение деления, получаем: 

Это тот же объем информации, но предоставленный явно. Корень этого уравнения 4

Изначальные уравнения эквивалентны. Значит, рассматриваемое число является корнем и исходного уравнения.

В самом деле, если подставить в первое уравнение вместо неизвестной данной величины, видим верное равенство: .

Ответ:

Ответ: 4

Отсюда выходит, что метод решения уравнения заключается в переписывании его в эквивалентном, но простейшем виде, где с одной стороны переменная, а с другой число.

В этом процессе возникает вопрос: какие преобразования уравнения допустимы, чтобы новое уравнение оставалось эквивалентным старому?

В двух вазах находится одинаковое количество яблок, хотя точное количество неизвестно. Если добавить в каждую из них по яблоку, равенство сохранится (рис. 1).

Аналогично происходит и с уравнением. Уравнение — это равенство двух значений.

Прибавляя или вычитая одно и то же число или переменную в обеих частях уравнения, получаем эквивалентный результат: 200х-25=150х=60 .

В дальнейшем согласимся для краткости говорить, что уравнение остается неизменным, несмотря на внешние изменения.

Эквивалентные преобразования. Перенос слагаемых

Пример 1. К обеим частям уравнения можно добавить любое число. Главное, чтобы это упростило уравнение. Рассмотрим: х-15=41

Здесь попробуем убрать слагаемое , чтобы упростить левые и правые части. Противоположное число для — это . Добавляем его ко всем частям:

Ответ: 56

Пример 2.

3х=5=2х

Здесь переменные встречаются с обеих сторон уравнения. Хотим переместить их в одну часть. Добавим к обеим частям:

Ответ: 5.

Пример 3.

Для обеих сторон добавим число. Сравнивая изначальное и полученное уравнение, видим, что слагаемое исчезло слева, а справа добавилось число, противоположное . Выходит, что мы перенесли , изменив его знак.

Любое слагаемое можно переместить из одной части в другую, поменяв его знак на противоположный.

х=79

Ответ: 79

Пример 4.

Переносим слагаемое вправо, а 4х влево. Для обоих элементов изменяем знак:

Ответ: — 17

Эквивалентные преобразования. Домножение и деление

Проведем аналогию с опытом. Пусть в двух вазах одинаковое количество яблок. Увеличив количество яблок в каждой вазе вдвое, сохраняем равенство. То же и при уменьшении в три раза.

То же самое и в уравнении: если обе части удачно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, уравнение останется эквивалентным старому.

Примеры: . Поделим обе части уравнения на : .

Ответ: 6.

Умножим обе части уравнения на : .

Ответ: 35.

Следующий пример: .

Разделим обе части уравнения на : .

Ответ: 9.

Решим еще несколько уравнений.

Пример 1.

Ответ: 2.

Пример 2.

Проверка: .

Ответ: 21.

Пример 3.

Ответ: 8.

Заключение.

При решении уравнений наша цель – привести исходное уравнение к виду «неизвестная равна числу», в этом случае мы решили исходное уравнение.

Пример:

Для этого мы сначала собираем все слагаемые с неизвестной в одной части уравнения, а остальные – в другой:

Для решения уравнений мы используем следующие эквивалентные преобразования.

• Добавление или вычитание к обеим частям уравнения одного и того же выражения (или, по-другому, перенос слагаемых в другую часть уравнения с изменением его знака):

Или:

• Домножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое выражение:

1)

2)

Список рекомендованной литературы

1. Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. М: Мнемозина, 2013.
2. Математика 5 класс. Ерина Т.М.. Рабочая тетрадь к учебнику Виленкина Н.Я. М.: Экзамен, 2013.
3. Математика 5 класс. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., М.: Вентана – Граф, 2013.