Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями
Тема урока: Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями 📚
Цели урока 🎯
Выучить правило сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями ➕
Научиться правильно раскрывать скобки при вычитании ✏️
Доводить ответ до конца: упрощать и сокращать результат ✂️
Основная часть урока 📝
1. Правило 🤔
Чтобы сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, сложи или вычти их числители, а знаменатель оставь прежним:
a/c + b/c = (a + b)/c и a/c − b/c = (a − b)/c.
✨ Важно: знаменатель НЕ складывается и НЕ вычитается — он просто переписывается в ответ.
2. Сложение: разбираем на примере ➕
Пример 1. Сложим 5x/12 + 7x/12.
Знаменатели одинаковые (12), поэтому складываем числители: 5x + 7x = 12x.
Получаем 12x/12.
Сократим на 12: ответ x.
Проверка: при x = 1 исходная сумма 5/12 + 7/12 = 12/12 = 1, и ответ x = 1 — совпало ✅
3. Вычитание: главное — скобки ✏️
При вычитании числитель второй дроби вычитается ЦЕЛИКОМ. Поэтому бери его в скобки и меняй знак у каждого слагаемого.
Пример 2. Вычислим (7a − 3)/(2a) − (3a − 3)/(2a).
Запишем разность числителей в скобках: (7a − 3) − (3a − 3).
Раскроем скобки, меняя знаки: 7a − 3 − 3a + 3.
Приведём подобные: 4a. Получаем 4a/(2a).
Сократим на 2a: ответ 2 (при a ≠ 0).
Проверка: при a = 1: (7 − 3)/2 − (3 − 3)/2 = 2 − 0 = 2 ✅
4. Не забудь сократить результат ✂️
Пример 3. Упростим x²/(x − 5) − 25/(x − 5).
Вычтем числители: (x² − 25)/(x − 5).
Разложим числитель по формуле разности квадратов: x² − 25 = (x − 5)(x + 5).
Сократим на (x − 5): ответ x + 5 (при x ≠ 5).
Проверка: при x = 6: 36/1 − 25/1 = 11 и 6 + 5 = 11 ✅
Типичные ошибки ⚠️
❌ Складывают и знаменатели: a/c + b/c = (a + b)/(2c). → ✅ Знаменатель остаётся прежним: (a + b)/c.
❌ При вычитании меняют знак только у первого слагаемого числителя. → ✅ Знак меняется у КАЖДОГО слагаемого: −(3a − 3) = −3a + 3.
❌ Оставляют ответ несокращённым и теряют баллы. → ✅ Всегда проверяй, нельзя ли сократить результат.
❌ Применяют это правило к дробям с разными знаменателями. → ✅ Правило работает только при одинаковых знаменателях.
Нужен прочный фундамент по предмету? 🎓
Действия с дробями — фундамент всей алгебры до 11 класса. В онлайн-школе «Моя школа LS» учитель на живых уроках в малой группе выстроит базу без пробелов — с того места, где начались трудности.
Мини-конспект 📋
a/c + b/c = (a + b)/c; a/c − b/c = (a − b)/c.
Знаменатель не меняется — переписывай его в ответ.
При вычитании бери числитель второй дроби в скобки.
Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого.
Приводи подобные слагаемые в числителе.
Готовый ответ попробуй сократить.
Зачем это нужно? 🚀
Быстро считать доли: два куска пиццы по x/8 — это сразу 2x/8 = x/4 🍕
Складывать доли бюджета, скидки и проценты с общим «знаменателем» 💰
Это шаг к дробям с разными знаменателями — теме следующего урока 🧭
Сложи числители, а знаменатель оставь прежним: a/c + b/c = (a + b)/c. После этого приведи подобные слагаемые и, если возможно, сократи получившуюся дробь.
Складываем числители: (2b + 7 + b + 5)/(b + 4) = (3b + 12)/(b + 4).
Выносим 3 за скобку: 3(b + 4)/(b + 4) = 3 (при b ≠ −4).
Записывай числитель вычитаемой дроби в скобках со знаком минус перед ними. Раскрывая скобки, меняй знак у каждого слагаемого: −(3a − 3) = −3a + 3. Потеря второго знака — самая частая ошибка.
Оцените урок:
