Степень с отрицательным показателем

Тема урока: Степень с отрицательным показателем 📚

Цели урока 🎯

• Понять, что означает отрицательный показатель степени 🧠

• Научиться применять свойства степеней с целыми показателями 🔢

• Освоить стандартный вид числа 🔬

Основная часть урока 📝

1. Определение 🤔

По определению a⁻ⁿ = 1/aⁿ, где a ≠ 0, а n — натуральное число. То есть степень с отрицательным показателем — это дробь: единица, делённая на ту же степень с положительным показателем. Напомним также: a⁰ = 1 при a ≠ 0.
Примеры:

• 2⁻³ = 1/2³ = 1/8

• 5⁻² = 1/5² = 1/25

• 10⁻⁴ = 1/10000 = 0,0001
  ✨ Важно: 2⁻³ — положительное число! Минус стоит в показателе и означает «дробь», а не знак числа.

2. Отрицательная степень дроби 🔁

Если в отрицательную степень возводится дробь, она переворачивается: (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ.

Пример 1. Вычислим (1/3)⁻² и (2/5)⁻¹.

1. (1/3)⁻² = (3/1)² = 3² = 9.

2. (2/5)⁻¹ = 5/2 = 2,5.

3. Проверка первого по определению: (1/3)⁻² = 1/(1/3)² = 1/(1/9) = 9 ✅

3. Свойства степеней работают! 🛠

Все привычные свойства сохраняются для любых целых показателей: a^m · aⁿ = a^m+n; a^m ÷ aⁿ = a^m−n; (a^m)ⁿ = a^mn.

Пример 2. Упростим a⁻³ · a⁵.

1. При умножении степеней показатели складываются: −3 + 5 = 2.

2. Ответ: a².

3. Проверка при a = 2: 2⁻³ · 2⁵ = (1/8) · 32 = 4 = 2² ✅

Пример 3. Вычислим 4⁻¹ + 2⁻².

1. 4⁻¹ = 1/4.

2. 2⁻² = 1/4.

3. Сумма: 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2 = 0,5. Ответ: 0,5.

4. Стандартный вид числа 🔬

Стандартный вид числа — это запись a · 10ⁿ, где 1 ≤ a < 10, а n — целое число. Отрицательные степени десятки нужны для записи маленьких чисел.

Пример 4. Запишем числа в стандартном виде.

1. 0,00042 = 4,2 · 10⁻⁴ — запятая сдвинулась на 4 позиции.

2. 150 000 000 = 1,5 · 10⁸ — примерно столько километров от Земли до Солнца ☀️

3. Проверка: 4,2 · 10⁻⁴ = 4,2 ÷ 10000 = 0,00042 ✅

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Думают, что 2⁻³ — отрицательное число. → ✅ 2⁻³ = 1/8, это положительное число.

• ❌ Пишут 2⁻³ = −8. → ✅ Минус в показателе означает дробь: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.

• ❌ При умножении степеней перемножают показатели: a⁻³ · a⁵ = a⁻¹⁵. → ✅ Показатели складываются: a⁻³⁺⁵ = a².

• ❌ Возводят ноль в отрицательную степень. → ✅ 0⁻ⁿ не существует: пришлось бы делить на ноль.

Мини-конспект 📋

• a⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0.

• a⁰ = 1 при a ≠ 0.

• (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ — дробь переворачивается.

• При умножении степеней показатели складываются, при возведении степени в степень — перемножаются.

• Стандартный вид: a · 10ⁿ, где 1 ≤ a < 10.

• 2⁻³ = 1/8 — положительное число.

Зачем это нужно? 🚀

• Маленькие величины удобно записывать степенями: размер бактерии — около 10⁻⁶ м 🦠

• В информатике: миллисекунда — это 10⁻³ с, наносекунда — 10⁻⁹ с 💻

• Стандартный вид числа используют калькуляторы, физика и астрономия 🔭