Тема урока: Характеристическое свойство геометрической прогрессии 🌟

Цели урока 🎯

Сегодня мы разберём характеристическое свойство геометрической прогрессии! 😄 Узнаем, как оно помогает определять, является ли последовательность геометрической, и как использовать это свойство в задачах. Это как найти волшебный ключ, чтобы раскрыть тайну числового ряда! 🕵️‍♂️

Что такое геометрическая прогрессия? 🤔

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждое следующее число получается, если предыдущее умножить на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии. Представьте, что это как цепочка, где каждое звено увеличивается или уменьшается в определённое количество раз! 🔗

Примеры:

• 2, 6, 18, 54… (знаменатель = 3).

• 16, 8, 4, 2… (знаменатель = 0.5).

Каждое число — это член прогрессии, и у него есть свой номер: 1-й член, 2-й член и так далее. 🔢

Характеристическое свойство геометрической прогрессии 🔍

Характеристическое свойство — это особое правило, которое помогает понять, является ли последовательность геометрической. Оно звучит так:
Если взять три последовательных члена прогрессии, то квадрат среднего члена равен произведению двух соседних членов.

Простыми словами: для чисел a, b, c (идущих подряд) в геометрической прогрессии верно:
b² = a × c.

Пример: в прогрессии 2, 4, 8…

• Берём три члена: 2, 4, 8.

• Средний член = 4, его квадрат: 4² = 16.

• Произведение соседних: 2 × 8 = 16.

• Проверяем: 16 = 16. Условие выполнено! ✅

Это свойство работает для любых трёх подряд идущих членов геометрической прогрессии. 😎

Как использовать характеристическое свойство? 🛠️

Это свойство помогает:

• Проверять, геометрическая ли прогрессия: если для любых трёх соседних членов квадрат среднего равен произведению двух других, то это геометрическая прогрессия.

• Находить пропущенные члены: если известны два ч members, можно вычислить средний.

• Решать задачи: например, проверять последовательности или находить неизвестные числа.

Пример: дана последовательность 3, 6, 12, 24…

• Берём 6, 12, 24.

• Проверяем: 12² = 144, а 6 × 24 = 144. Верно! Это геометрическая прогрессия. 🎉

Если свойство не выполняется, последовательность не является геометрической. Например, в 1, 3, 6:

• Средний член = 3, его квадрат = 3² = 9.

• Произведение: 1 × 6 = 6. Не равно 9, значит, это не геометрическая прогрессия. 🚫

Зачем это нужно? 🧠

Характеристическое свойство помогает:

• Быстро определять, геометрическая ли последовательность, без вычисления всех знаменателей.

• Решать задачи, где нужно найти пропущенные числа, например, в ряду чисел: 2, ?, 18… 📱

• Понимать закономерности в числах, которые встречаются в жизни, например, в росте бактерий или процентов в банке. 💸

Практика на уроке 📚

Мы будем:

• Проверять последовательности на геометрическую прогрессию с помощью характеристического свойства.

• Находить неизвестные члены, используя правило.

• Решать простые задачи.

Попробуем? 😄 Дана последовательность 1, 3, 9… Проверим: 3² = 9, а 1 × 9 = 9. Это геометрическая прогрессия! 🚀