Типовые задачи по теме «Геометрическая прогрессия»

Тема урока: Типовые задачи по теме «Геометрическая прогрессия»

Цели урока

Сегодня мы будем решать типовые задачи по теме геометрическая прогрессия! Научимся определять, является ли последовательность геометрической, находить её элементы и применять эти знания в задачах из реальной жизни. Это как разгадывать числовые головоломки, которые растут или уменьшаются в разы!

Что такое геометрическая прогрессия?

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждое следующее число получается, если предыдущее умножить на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии.
Примеры:

• 2, 6, 18, 54… (знаменатель = 3, каждое число умножается на 3).

• 16, 8, 4, 2… (знаменатель = 0.5, каждое число делится на 2).

Каждое число — это член прогрессии, и у него есть свой номер: 1-й член, 2-й член и так далее.

Типовые задачи

Мы разберём несколько типов задач, которые часто встречаются:

1. Определение геометрической прогрессии

Нужно проверить, является ли последовательность геометрической, вычислив знаменатель (отношение соседних членов). Если знаменатель одинаков, это геометрическая прогрессия!
Пример: дана последовательность 3, 9, 27, 81…

• Знаменатели: 9 ÷ 3 = 3, 27 ÷ 9 = 3, 81 ÷ 27 = 3.

• Знаменатель одинаков, значит, это геометрическая прогрессия! ✅

2. Нахождение следующего члена

Чтобы найти следующий член, умножаем последний член на знаменатель.
Пример: в прогрессии 4, 8, 16, 32… знаменатель = 2. Следующий член: 32 × 2 = 64.

3. Нахождение члена по номеру

Чтобы найти член под номером n, берём первый член и умножаем его на знаменатель (n − 1) раз.
Пример: в прогрессии 1, 3, 9, 27… (первый член = 1, знаменатель = 3), найдём 5-й член:

• Умножаем 1 на 3 четыре раза: 1 × 3 × 3 × 3 × 3 = 81.

4. Проверка характеристического свойства

Характеристическое свойство: квадрат среднего из трёх подряд идущих членов равен произведению двух соседних.
Пример: в 2, 4, 8… берём 2, 4, 8. Проверяем: 4² = 16, а 2 × 8 = 16. Это геометрическая прогрессия!

Зачем это нужно?

Геометрическая прогрессия помогает решать задачи из жизни:

• Сколько бактерий будет через 4 часа, если их число удваивается каждый час?

• Как растёт сумма на счёте, если проценты умножают её каждый год?

• Сколько лайков наберёт пост, если их число утраивается каждый день?

Практика на уроке

Мы будем:

• Проверять, является ли последовательность геометрической.

• Находить знаменатель и следующие члены.

• Решать задачи, связанные с ростом или уменьшением чисел.

Попробуем? В прогрессии 5, 15, 45… найдём 4-й член:

• Первый член = 5, знаменатель = 3.

• 4-й член: 5 × 3 × 3 × 3 = 5 × 27 = 135.