Свойства квадратных корней

Тема урока: Свойства квадратных корней 📚

Цели урока 🎯

• Выучить свойства корня из произведения и из дроби 📜

• Научиться считать корни из «неудобных» чисел без калькулятора 🧮

• Запомнить, чего с корнями делать нельзя 🚫

Основная часть урока 📝

1. Корень из произведения 🤔

Если a ≥ 0 и b ≥ 0, то √(ab) = √a · √b: корень из произведения равен произведению корней. Правило работает и в обратную сторону: √a · √b = √(ab).

Пример 1. Вычислим √(49 · 36).

1. Разделим корень на два: √(49 · 36) = √49 · √36.

2. √49 = 7, √36 = 6.

3. 7 · 6 = 42. Ответ: 42.

4. Проверка: 42² = 1764 и 49 · 36 = 1764 ✅

2. Обратный ход: объединяем корни 🔁

Пример 2. Вычислим √2 · √8.

1. По отдельности √2 и √8 — иррациональные числа, «вручную» их не перемножить.

2. Объединим под один корень: √2 · √8 = √(2 · 8) = √16.

3. √16 = 4. Ответ: 4.

4. Проверка: 4² = 16 = 2 · 8 ✅

3. Корень из дроби ➗

Если a ≥ 0 и b > 0, то √(a/b) = √a/√b. И наоборот: частное корней можно записать под одним корнем.

Пример 3. Вычислим √72/√2.

1. Объединим под один корень: √72/√2 = √(72/2).

2. 72/2 = 36.

3. √36 = 6. Ответ: 6.

4. Проверка: 6 · √2 = √36 · √2 = √72 ✅

4. Корень и квадрат 🧩

Два похожих, но разных свойства:

• (√a)² = a при a ≥ 0: корень и квадрат «гасят» друг друга.

• √(a²) = |a| для любого a: результат не может быть отрицательным. Например, √((−7)²) = √49 = 7 = |−7|.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ «Раздают» корень на слагаемые: √(9 + 16) = √9 + √16 = 7. → ✅ Свойства есть только для умножения и деления: √(9 + 16) = √25 = 5.

• ❌ Пишут √(a²) = a для любого a. → ✅ √(a²) = |a|: при a = −3 получаем √9 = 3, а не −3.

• ❌ Применяют √(ab) = √a · √b к отрицательным числам. → ✅ Свойство сформулировано для a ≥ 0 и b ≥ 0.

• ❌ Считают √2 · √8 приближённо: 1,41 · 2,83 ≈ 3,99. → ✅ Объедини корни: √16 = 4 — точно и быстрее.

Мини-конспект 📋

• √(ab) = √a · √b при a ≥ 0 и b ≥ 0.

• √(a/b) = √a/√b при a ≥ 0 и b > 0.

• (√a)² = a при a ≥ 0.

• √(a²) = |a| для любого a.

• Для суммы и разности свойств НЕТ: √(a + b) ≠ √a + √b.

• «Неудобные» корни объединяй: √2 · √8 = √16 = 4.

Зачем это нужно? 🚀

• Быстрый устный счёт: √(25 · 16) — это 5 · 4 = 20, без калькулятора 🧮

• Упрощение формул с корнями в геометрии: диагонали, теорема Пифагора 📏

• Задания на свойства корней встречаются на ОГЭ и ЕГЭ каждый год 🎯