Уравнения и неравенства с двумя переменными

Тема урока: Уравнения и неравенства с двумя переменными 📚

Цели урока 🎯

• Понять, что решение — это пара чисел (x; y) 👥

• Научиться строить графики уравнений с двумя переменными 📈

• Изображать множества решений неравенств на плоскости 🎨

Основная часть урока 📝

1. Что такое уравнение с двумя переменными? 🤔

Это равенство, в котором участвуют две переменные, например x + y = 5 или x² + y² = 25. Решение такого уравнения — пара чисел (x; y), обращающая его в верное равенство. Решений обычно бесконечно много, и все вместе они образуют линию на координатной плоскости — график уравнения.

• ax + by = c — прямая 📏

• x² + y² = r² — окружность радиуса r с центром в начале координат ⭕

• y = x² — парабола 🏹

2. Пример 1: строим график x² + y² = 25 🛠

1. Узнаём вид: x² + y² = r², где r² = 25, значит r = 5. Это окружность радиуса 5 с центром (0; 0).

2. Опорные точки: (5; 0), (−5; 0), (0; 5), (0; −5).

3. ✅ Проверка: пара (3; 4): 9 + 16 = 25 — верно, точка лежит на окружности. Пара (1; 2): 1 + 4 = 5 ≠ 25 — не решение.

3. Пример 2: график с модулями |x| + |y| = 2 ✍️

1. Разбираем по четвертям. В первой четверти (x ≥ 0, y ≥ 0) модули раскрываются просто: x + y = 2 — отрезок от (2; 0) до (0; 2).

2. В остальных четвертях получаются такие же отрезки из-за симметрии модуля.

3. Итог — квадрат («ромбик») с вершинами (2; 0), (0; 2), (−2; 0), (0; −2).

4. ✅ Проверка: (1; 1): 1 + 1 = 2 — лежит на границе; (1; −1): 1 + 1 = 2 — тоже лежит, симметрия работает.

4. Неравенства с двумя переменными 🔍

Решение неравенства с двумя переменными — уже не линия, а целая область плоскости. Алгоритм:

1. Построить границу — график соответствующего уравнения: сплошную для нестрогого знака (≤, ≥), пунктирную для строгого (<, >).

2. Взять пробную точку не на границе — удобнее всего (0; 0).

3. Если неравенство в точке выполнено — закрасить её сторону, если нет — другую.

5. Пример 3: полуплоскость и круг 🎯

а) Решим неравенство y > 2x − 1.

1. Граница — прямая y = 2x − 1, рисуем её пунктиром (знак строгий).

2. Пробная точка (0; 0): 0 > −1 — верно.

3. Ответ: полуплоскость выше прямой, та, где лежит (0; 0), без самой прямой.

б) Решим неравенство x² + y² ≤ 9.

1. Граница — окружность радиуса 3, линия сплошная (знак нестрогий).

2. Точка (0; 0): 0 ≤ 9 — верно, закрашиваем внутренность.

3. ✅ Проверка: (2; 2): 4 + 4 = 8 ≤ 9 — внутри; (3; 1): 9 + 1 = 10 > 9 — снаружи. Ответ: круг вместе с окружностью.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Называют решением одно число → ✅ решение — пара (x; y), и порядок в ней важен.

• ❌ Рисуют сплошную границу для строгого неравенства → ✅ строгий знак — пунктир (граница не входит), нестрогий — сплошная линия.

• ❌ Выбирают сторону области «на глаз» → ✅ всегда проверяй пробной точкой, которая не лежит на границе.

• ❌ Пытаются выписать все решения списком → ✅ ответ — это описание линии или области: решений бесконечно много.

Мини-конспект 📋

• Решение уравнения с двумя переменными — пара (x; y).

• График уравнения — множество всех его решений на плоскости.

• ax + by = c — прямая; x² + y² = r² — окружность радиуса r.

• Неравенство задаёт область; её граница — график уравнения.

• Строгий знак — пунктирная граница, нестрогий — сплошная.

• Сторону области определяем пробной точкой, обычно (0; 0).

Зачем это нужно? 🚀

• Зона покрытия вышки связи — круг x² + y² ≤ r²: так проверяют, ловит ли сеть в твоей точке 📡

• В экономике область допустимых планов производства задаётся системой неравенств 📦

• В играх попадание персонажа в зону действия проверяется неравенством с координатами 🎮