Тема урока: Задачи на нахождение области определения и области значений функции в более сложных случаях 😊

Цель урока:

Научить учеников 7 класса находить область определения и область значений числовых функций в более сложных примерах, где могут быть ограничения, такие как деление или квадратный корень. Урок направлен на развитие навыков анализа и решения задач! 🌟

План урока:

1. Введение и повторение (5 минут) 📚

• Краткое повторение: Числовая функция — это правило, которое каждому числу x ставит в соответствие одно число y. Например, y = 3x + 2. 😄

• Область определения: Все числа x, которые можно подставить в функцию без ошибок (например, деления на 0 или отрицательного числа под корнем).

• Область значений: Все числа y, которые получаются при подстановке допустимых x.

• Сегодня мы разберем случаи, где нужно быть внимательнее из-за ограничений, таких как деление или квадратный корень. 🪄

2. Основные понятия и ограничения (15 минут) ✏️

• Ограничения в области определения:

  • Если в функции есть деление (например, y = 1/(x — 2)), знаменатель не должен быть равен 0, то есть x ≠ 2.

  • Если есть квадратный корень (например, y = √x), то под корнем должно быть число не меньше 0, то есть x ≥ 0.

• Ограничения в области значений:

  • Для функции с квадратным корнем, например, y = √x, y всегда будет не меньше 0, так как квадратный корень не дает отрицательных чисел.

  • Для функции y = 1/x значения y никогда не равны 0, так как деление не дает нулевой результат.

• Примеры функций:

  • y = 1/(x + 1) (область определения: x ≠ -1; область значений: y ≠ 0).

  • y = √(x — 3) (область определения: x ≥ 3; область значений: y ≥ 0).

  • y = 5/(x² — 4) (область определения: x² ≠ 4, то есть x ≠ 2 и x ≠ -2).

3. Разъясняющие примеры (15 минут) 🌈

• Пример 1: Найдем область определения и область значений для функции y = 1/(x — 5).

  • Область определения: Знаменатель x — 5 ≠ 0, значит, x ≠ 5. Ответ: все числа, кроме x = 5.

  • Область значений: y = 1/(x — 5) никогда не равно 0, так как деление не дает ноль. Если x принимает все значения, кроме 5, то y может быть любым числом, кроме 0. Ответ: все числа, кроме y = 0. 😊

• Пример 2: Найдем область определения и область значений для функции y = √(x + 2).

  • Область определения: Под корнем должно быть число не меньше 0, то есть x + 2 ≥ 0, x ≥ -2. Ответ: x ≥ -2.

  • Область значений: Квадратный корень всегда дает неотрицательное число, то есть y ≥ 0. Ответ: y ≥ 0. 🧮

• Пример 3: Найдем область определения для функции y = 3/(x² — 1).

  • Знаменатель x² — 1 ≠ 0, то есть x² ≠ 1, значит, x ≠ 1 и x ≠ -1.

  • Область определения: Все числа, кроме x = 1 и x = -1.

4. Практическая часть (10 минут) 🖌️

• Ученики решают задачи на доске и в тетрадях:

  • Найти область определения для y = 1/(x + 3).

  • Найти область определения и область значений для y = √(x — 1).

  • Найти область определения для y = 2/(x² — 9).

• Разбираем решения вместе, исправляем ошибки с улыбкой! 😄

5. Заключение (5 минут) 🎉

• Повторяем, как находить область определения (проверяем, где функция «работает» без ошибок) и область значений (какие y получаются).

• Отвечаем на вопросы учеников.

• Домашнее задание:

  • Найти область определения для y = 1/(x — 4).

  • Найти область определения и область значений для y = √(x + 5).

  • Найти область определения для y = 1/(x² — 16).